収束、発散

質問

（n=0～∞ ）Σ{1/n^3} 　が収束なのか
発散なのかを見分けたいのですが、
どうすればできますか？
私は {1/n^3} = n^(-1/3)　と
書き換えるのかなぁと思ったのですが、
その先が思いつきません。
どうぞよろしくお願いします。

回答No.3

kony0 · ベストアンサー

＞(n=0～∞ ）Σ{1/n^(1/3)}

これは、(n=１～∞ ）Σ{1/n^(1/3)}ですね。^^;

で、解き方は、n>1のとき、1/n^(1/3) > 1/n ですから、
(n=1～∞ ）Σ{1/n^(1/3)} > (n=1～∞ ）Σ{1/n}
右辺が＋∞に発散するのは有名ですよね。ということで、左辺も発散。

ちなみに、上の有名事実は、
(n=1～∞ ）Σ{1/n} > ∫(1～∞) 1/x dx を利用します。
左辺は、∫(1～∞) 1/[x] dx に等しく、あとはグラフでお絵かきして考えてください。

回答No.4

oshiete_goo

#3さんのご指摘通り,
(n=1～∞）Σ{1/n^(1/3)}・・・(*)
だと思われます.
既述の通り, 1/nとの比較が理論的には最も重要ですが, 評価はいろいろありそうですね.

[参考別解]
n≧1で
1/n^(1/3) は常に正で減少関数より

(n=1～N）Σ{1/n^(1/3)}
≧∫_{1～N+1}(1/x^(1/3))dx [上端はNまでで切り捨ててもOKですね]
＝[(3/2)x^(2/3)]_{1～N+1}
＝(3/2){(N+1)^(2/3)－1}→+∞ (N→+∞)

よって与えられた級数は発散.

回答No.2

oshiete_goo

＞{1/n^3} = n^(-1/3)
これは 1/n^3 = n^(-3) ですね.
でもこれは使わなくても済みます.

n≧2 で
1/n^3 ≦ 1/n^2 ≦1/n(n-1)＝1/(n-1) － 1/n
などを使えばどうでしょう.

補足

すみません。間違った問題を記入していました。正しい問題は

(n=0～∞ ）Σ{1/n^(1/3)} です。

よろしくお願いします。

回答No.1

oshiete_goo

n=0はマズイのでは?
もし n=1～∞ ならば, 1/n よりも早いか否かで見当はつきますね.
(なお,ちょうど1/nの和は対数発散でした.)

収束する級数or積分で上から評価すれば示せます.