広義積分の収束と発散の問題

質問

∫[0,π](1/√(sin x))dx
この広義積分の収束と発散を判定せよという問題なのですが解放を教えてください。

現在講義で習ったのが
f(x):[a,b)で連続　ョμ≧1　lim(x→b-0) (b-x)^μ*f(x)が収束
ならば
∫[a,b]f(x)dxは発散

という内容なのでこれをうまく利用するみたいですが、まったく解法が浮かびません…
どうかお助け願います。

回答No.2

info22

宿題なら全くの他力本願で、公開の場で解答を書くのはまずいじゃないでしょうか？

>収束するんですね。
収束値（近似値ではない真の値）をA#1に2通りの形式でお書きしました。
収束値が求まるということは収束する為の十分条件です。
収束値を求まる⇒収束することが証明されたことになる。

WolframAlphaサイト(参考URL参照)で不定積分
∫{√(sin(x))}/sin(x) dx
を求めると
=-2F((1/2)((π/2)-x)|2) + C(積分定数)
ここで、F(x|m)は第１種の楕円積分関数です。
積分範囲を[0,π]として定積分
∫[0,π]{√(sin(x))}/sin(x) dx
を求めると
=2(√2)K(1/2)≒5.244115 ...
と収束値が求まります。
ここで、K(m)は第１種の完全楕円積分関数です。
実際の積分の仕方を図に添付して置きます。
やってみて下さい。
フリーソフトのwxMaximaでの理論値を表す関数は異なるものの関数値を
計算すれば結果は同じになります。
大学の数学なら収束値を、どういった方法で求めたかを示して、求めておけば十分。

>収束値まではもとめなくてもいいのですが、収束することを示す方法はないでしょうか…？

宿題を他力本願で他人の解答を丸写ししてやろうとするのは学生の本筋を逸脱する。公開の解答を他人も丸写しして宿題を出したらどういう評価を受ける？

収束性を調べたかったら、適当な上限関数と下限関数を見つけてサンドイッチにして極限をとれば良い。

あるいは、f(x)=1/√sin(x) をTaylor展開して、それを[0,π]で積分した
無限級数で、
一般項a_nについて　|a_(n+1)/a_n|→α(n→∞)を示せば良い。
このとき収束半径rは r=1/α　となる。（d’Alembert の判定法）

f(x)はx=π/2について対称な関数なので
∫[0,π]1/√(sin(x))dx=2∫[0,π/2] 1/√(sin(x))dx
なので
x-(π/2)=Xと置換してやって sin(x)=cos(X),dx=dX,
x[0,π]→X[-π/2,π/2],cos(X)は偶関数なので
∫[0,π]1/√(sin(x))dx=2∫[0,π/2]1/√(cos(X))dX
g(X)=1/√(cos(X))をX=0の周りにTaylor展開して、
をそれを項別積分した無限級数について、d’Alembert の判定法
を使って収束性を証明すれば良い。

(参考)べき級数の収束性の証明法
http://www.mm.sophia.ac.jp/~tsuno/kougi/07/ch_suu1n_02.pdf

参考URL：

http://www.wolframalpha.com/

回答No.1

info22

数式処理ソフトで計算すると
∫[0,π](1/√(sin x))dx=beta(1/4,1/2)　or =2(√2)EllipticK(1/√2)
≒5.244115...
と出てきます。
従って、特殊関数（超越関数）のβ関数や楕円関数を使わないと
積分結果が表せないので大学の数学レベル以上でしか解けない積分ですね。

ただ、収束値が存在しますので、数値計算なら高校レベルの数学でも
近似値が求められますね。

積分値が求まるので、収束であって、発散では無いですね。

お礼

回答ありがとうございます。
収束するんですね。
収束値まではもとめなくてもいいのですが、収束することを示す方法はないでしょうか…？
大学で出されたものなのでその範囲でなにか方法がございましたらご教授願いたいです。