電磁気学の問題 最後なのでお願いします

質問

この問題に関して質問するのは3回目になるのですが最後なので見捨てずに回答お願いします

聞きたい部分は（５）と（６）の部分です

問題
　半径がｒ1,r2の（ｒ1＜r2）の厚さの無視できる導体球殻１，２が同心状に設置されている。はじめ球殻１，２にはそれぞれＱ１、Ｑ２、の電荷が与えられている。ただし無限遠方の電位は接地電位と同じく０である。球殻の中心をＯとし任意の点ＰのＯからの距離をｒとする。真空の誘電率はε０とする

点Ｐでの電場の強さをｒの関数としてもとめると

ⅰ）0≦r＜r1のとき
Ｅⅰ=0

ⅱ）r1＜r＜r２のとき
Eⅱ＝Q１/4πε０r^2

ⅲ）r２＜rのとき
Ｅⅲ＝(Q1+Q2)/4πε０r^2

また点Ｐでの電位をｒの関数として求めると

ⅰ）0≦r＜r1のとき
Ｖⅰ=1/(4πε０)((Q1/r1)+(-Q1/r2)+((Q1+Q2)/r2))
=1/(4πε０)((Q1/r1)+(Q1/r2))

ⅱ）r1＜r＜r２のとき
Vⅱ=1/(4πε０)((Q1/r)+(-Q1/r2)+(Q1+Q2/r2))
=1/(4πε０)((Q1/r)+(Q2/r2))

ⅲ）r２＜rのとき
Vⅲ=1/(4πε０)((Q1+Q2)/r)

よって初めの状態で系に蓄えられている電場エネルギーをを求めると
球殻１
Ｕ1=(1/2)Q1V1=Q1/(8πε０)((Q1/r1)+(Q1/r2))
=1/(8πε０)((Ｑ1^2/r1)+(Q１Q2/r2))
球殻２
U2=(1/2)Q２V２＝Q2/(８πε０)((Q1+Q2)/r2)
=1/(８πε０)((Q1Q2+Q2^2)/r2)
したがって
球殻１＋球殻２
＝1/(８πε０)((Q1^2/r1)+(2Q1Q2+Q2^2)/r2)

次に球殻１に接地する。接地した後の球殻１の電荷を求めると

接地すると球殻１の電位は０となるので

V(r1)=1/(4πε０)((Q' /r1)+(Q2/r2))=0
Q'=-Q2r1/r2

ここまでは前回の回答で疑問は解けました
ここから聞きたい部分です

（５）　接地することにより系の電場のエネルギーは変化する。この際系に蓄えられた電場のエネルギーは接地によって増加することはないことを示せ

接地したあとの球殻１の電場エネルギーは
４の答えより
(1/2)Q'V(r1)=(1/2)Q'＊1/(4πε０)((Q' /r1)+(Q2/r2))
　　　　　　＝０　
球殻２の電場エネルギーは
(1/2)Q2V2=(1/8πε０)Q2(Q2/r2))
より
５の電場エネルギー＜3の電場エネルギー
となる

（6,）内側の球を外側の球の中心からずらすと電場は変化するか？

電荷と面積が変化しないので電場は変化しない

（６）の解答には変化しない、としか書いてなく理由が書いてなかったので、自分の理由の良し悪しの判定をお願いします。

よろしくお願いします

回答No.1

noname#161582 · ベストアンサー

問(5)ですが

V(r2)=1/(4πε０)((Q' +Q2)/r2)
=1/(4πε０)Q2(1-r1/r2)/r2

なので接地後の系のエネルギーは

U' =1/(8πε０)Q2^2*(1-r1/r2)/r2

となります。これを問(3)で求めたエネルギーと比較するのですが
Q1とQ2の符号や大きさ等を考慮すると、U' の方が小さいとは
単純には言い切れないような気がします。
定性的な話ですませるのが無難ではないかと思います。

問(6)ファインマンの本を読んでみましたが、
問題の設定が今の場合と少し違っているようです。

今の場合は球殻の厚さは無視していましたが、
ファインマンの問題では厚みがあります。

どちらの場合も、全電荷に変化は無いのでガウスの法則により
球殻2の外側での電場に変化は生じません。
(球殻1が接地されていると球殻1の電荷数が変化するかもしれません。
このときには球殻2の外側の電場の大きさは変化します。)

ファインマンの問題では球殻2に厚みがあって、その内部の電場
の変化をきいていますが、静電場では導体内部の電場は0なので、
球殻1をずらす前後で電場は0で変化はありません。

ファインマンの問題ではきかれていませんが、球殻1と球殻2の間では
力線が球対称ではなくなるので電場は変化すると思います。
電場を正確に求めるには微分方程式を解かなければなりませんが、
解析的に解くのは困難な気がします。

お礼

最初から最後までありがとうございました

また何かあったらよろしくお願いします！