電磁気学、同心球の問題、広島大編入試問題

質問

まったく意味が分からないので教えてください。
真空の誘電率をε（ゼロは省略）、無限遠方の電位を0とする。

半径aの導体球Aが真空中にある。導体球Aに正の電荷Q1を与える。
次に導体球Aの電荷Q1を保ったまま、その周りを内径b、外形c(a<b<c)の導体球殻Bで包み正の電荷Q2を与えた。
さらに、導体球殻Bの電荷をQ2にたもったまま、導体Aを接地した。

(4)導体球Aの表面に現れる電荷をQ3として、導体球殻Bの電位を求めよ
(5)電位Vをrの関数として表せ
(6)導体球Aの電位を考える事により、導体球Aの表面に現れる電荷Q3を求めよ

電磁気は苦手なのでなるべく丁寧に説明をして頂けると嬉しいです

回答No.2

Quarks · ベストアンサー

接地したという操作が行われた後の状態で考えるのでしょうね。

(4)　r>=c　の、球殻の外側の空間（静電場）を考えましょう。ガウスの法則によれば、この静電場を考える時には、球殻を含めてその内部の全電荷が、球殻の中心（つまりは、導体球の中心でもあります）に集まったと考えて計算することができます。
題意から、その全電荷は、Ｑ３＋Ｑ２です。中心からの距離ｒの地点での電位V(r)は、点電荷が作る電位の公式を使って
V(r)=(1/(4πε))・（Q3+Q2)/ｒ＋Ｖ’
です。
Ｖ’は、電位の基準点をどこに取るかで決まる定数です。
r=∞での電位を０とするのですから
０＝Ｖ’　ですね。
∴　V(r)=(1/(4πε))・（Q3+Q2)/ｒ　　ただし r>=c

球殻の外表面ではｒ＝ｃですから、その電位は
V(c)=(1/(4πε))・（Q3+Q2)/ｃ
となります。

(5)　r>=c　では(4)の結果そのもので　V(r)=(1/(4πε))・（Q3+Q2)/ｒ

導体内部の電位は一定。そして静電場の電位は連続ですから、球殻の電位は、その外表面での電位そのものです。
∴b<r<c　の領域では　Vc=(1/(4πε))・（Q3+Q2)/ｃ　で、ｒによらない値になります。

球殻内表面より内側は、球殻の電荷は無関係な世界です。ここでは導体球の電荷だけが意味を持つ世界です。
∴a<r<b　では　V(r)=(1/(4πε))・Q3/r＋V'
となります。　ここでも、V'の項を残しておくことを忘れないで下さい。
静電場の連続性から、ｒ＝ｂで、　球殻の電位と一致するので　Vc=V(r)とならなければなりません。この条件からV'が定まります。
(1/(4πε))・Q3/b＋V'＝(1/(4πε))・（Q3+Q2)/ｃ
∴V'=(1/(4πε)){((Q3+Q2)/ｃ)－(Q3/b)}
∴V(r)=(1/(4πε))・Q3/r＋V'
＝(1/(4πε)){(Q3/r)＋((Q3+Q2)/ｃ)－(Q3/b)}

r<=a　の領域は導体球の内部なので、その電位は、
V(r)＝(1/(4πε)){(Q3/r)＋((Q3+Q2)/ｃ)－(Q3/b)}
で r=a の時の値になります。
V＝(1/(4πε)){(Q3/a)＋((Q3+Q2)/ｃ)－(Q3/b)}

(6)接地している物体は、習慣上　電位＝０　と見なしますから
V＝(1/(4πε)){(Q3/a)＋((Q3+Q2)/ｃ)－(Q3/b)}＝０
です。
つまり
(Q3/a)＋((Q3+Q2)/ｃ)－(Q3/b)＝０
これを解いて
Q3=…

お礼

ありがとうございます。
すごく良く分かりました

回答No.1

foobar

半径r(r>c)の球面を考えると、球面内の電荷はQ2+Q3、これによる電界ガウスの法則を使ってE=(Q2+Q3)/(4πεr)。
これを∞からcまで積分すると、導体Bの電位が計算できます。
b<r<cの間は、導体なので等電位。
a<r<bの間は、電荷Q3による電界を使って、Bからの電位差を計算できるので、無限遠からの電位を計算できます。

こうやって計算したV(a)が設置電位＝０ということから、Q3が決定できます。