電磁気学の問題のやり直し

質問

問題をやり直したのでもう一度チェックをお願いしたいのと
その続きの問題についてのチェックもお願いします

問題
　半径がｒ1,r2の（ｒ1＜r2）の厚さの無視できる導体球殻１，２が同心状に設置されている。はじめ球殻１，２にはそれぞれＱ１、Ｑ２、の電荷が与えられている。ただし無限遠方の電位は接地電位と同じく０である。球殻の中心をＯとし任意の点ＰのＯからの距離をｒとする。真空の誘電率はε０とする

(1)点Ｐでの電場の強さをｒの関数として求めよ

ⅰ）0≦r＜r1のとき
Ｅⅰ=0

ⅱ）r1＜r＜r２のとき
Eⅱ＝Q/4πε０r^2

ⅲ）r２＜rのとき
Ｅⅲ＝(Q1+Q2)/4πε０r^2

(2)点Ｐでの電位をｒの関数として求めなさい

ⅰ）0≦r＜r1のとき
Ｖⅰ=1/(4πε０)((Q1/r1)+(-Q1/r2)+((Q1+Q2)/r2))
=1/(4πε０)((Q1/r1)+(Q1/r2))

ⅱ）r1＜r＜r２のとき
Vⅱ=1/(4πε０)((Q1/r)+(-Q1/r2)+(Q1+Q2/r2))
=1/(4πε０)((Q1/r)+(Q2/r2))

ⅲ）r２＜rのとき
Vⅲ=1/(4πε０)((Q1+Q2)/r)

(3)初めの状態で系に蓄えられている電場エネルギーをを求めなさい
球殻１
Ｕ1=(1/2)Q1V1=Q1/(8πε０)((Q1/r1)+(Q1/r2))
=1/(8πε０)((Ｑ1^2/r1)+(Q１Q2/r2))
球殻２
U2=(1/2)Q２V２＝Q2/(８πε０)((Q1+Q2)/r2)
=1/(８πε０)((Q1Q2+Q2^2)/r2)
したがって
球殻１＋球殻２
＝1/(８πε０)((Q1^2/r1)+(2Q1Q2+Q2^2)/r2)

4,次に球殻１に接地する。接地した後の球殻１の電荷を求めなさい

接地すると球殻１の電位は０となるのまではわかるのですがそのあとのヒントをください

５、４で接地することにより系の電場のエネルギーは変化する。この際系に蓄えられた電場のエネルギーは接地によって増加することはないことを示せ

４を解いてないので考え方だけですが４で求めた電荷とＶ２で接地のときのエネルギーを出して３で求めたエネルギーと比べればよいのでしょうか？

回答No.3

yokkun831 · ベストアンサー

ANo.2の(4)は撤回します。
申しわけありません。勘違いでした。
接地のV=0の基準は，無限遠ゼロの基準と同等です。
外側を接地した場合はQ2=-Q1となりますが，内側を
接地した場合はそうならないのですね。

(3)で求めたエネルギーを，Q1で微分してゼロとおくと，
エネルギーを最小とするQ1が求まりますが，その結果は
まさにANo.1さんの結果と同じくなります。

混乱させてしまったこと，またANo.1さんへの失礼を
おわびします。m(_ _)m

お礼

長い質問を最後まで読んでくれて幸いです
また細かな解説ありがとうございます

やり直したので暇がありましたら
回答お願いします

回答No.2

yokkun831

(1)
単なるコピーミスとは思いますが。Q→Q1

(2)(3)
OKだと思います。

(4)
V(r1)=0とおくのはまずいのではないでしょうか？
無限遠ゼロの基準と矛盾してしまいます。もし，
そうしたいなら，はじめの基準とちがう基準を用いる
わけですから，V(r)の形がそもそも変わります。

早い話が，球殻１の電荷は-Q2になります。なぜなら，
接地点は無限の電荷供給源なので，球殻２の電荷に
よって球殻１の電荷が誘導されるからです。
電気力線は必ず正電荷から出て負電荷に入ります。
接地前は，球殻２を出た電気力線は逆符号の電荷を
求めて無限のかなたにのびていきます。しかし，
接地すると手近にその相手があるので，球殻１に
その相手を呼び出すわけです。わざわざ遠くに相手を
求めて自らエネルギーを増やすことはしないのですね。
系は内部にエネルギー源を持ちませんから，自然の
なりゆきにしたがって（ANo.1さんがおっしゃるとおり）
エネルギーを下げる方向に変化が起こります。

(5)は，(4)の結果にしたがって証明することもできますが，
上で述べたように（ANo.1さんがいうように）「定性的に
明らか」なのです。

回答No.1

noname#161582

接地した後の球殻１の電荷をQ' とします。
この場合も電位Vの求め方は以前とまったく同じで、
問2で求めた式のQ1のところをQ' で置き換えるだけです。
そこで新しい条件

V(r1)=1/(4πε０)((Q' /r1)+(Q2/r2))=0

をQ' について解けばよいわけです。

問5は定性的には明らかです。
接地することにより電荷の移動があれば、ジュール熱による
エネルギーの損失があるので電場のエネルギーは減少します。

定量的には問3と同様な計算をして比較すればよいと思います。

お礼

いつもわかりやすい回答ありがとうございます

自分の回答とまた質問をしましたので暇があれば
またお願いします