水素原子の量子数 l の縮退

質問

固体物理の本を読んでいたら、
「よく知られているように、水素原子の角運動量量子数 l （エル）にかんする縮退は、（空間の対称性によるのではなく）1/r の形のポテンシャルの特殊性による」
と書いてありました。
これは初耳だったのですが、直感的な（半古典的な）説明ができるのでしょうか？？

量子力学の計算を追ったところ、1/r^s の形のポテンシャルを仮定すると、s が整数でないと多項式展開ができないため、水素原子の通常の議論が破綻する、ということまでは分かりましたが、それでは1/r以外のポテンシャルにおいて実際に l に依存するエネルギー固有値を解析的に得ることは難しそうでした。。。

回答No.1

eatern27 · ベストアンサー

水素原子において、ｌに関する縮退(2sと2p,3sと3pと3dなどの縮退)は、

エネルギー、角運動量のほかに、
A＝(L×p-p×L)/2m+e^2/4πε r/|r|
なる保存量(レンツベクトルなどと呼ばれます。定数倍だけ違う形で定義することもあるようです)が存在する事に由来します。

このベクトルが保存される事の直感的な説明は、私は知りませんが、計算すると確かに保存されるんですよ。確か、離心率とも関係しています。

お礼

なるほど。別の保存量があるのですか、ありがとうございました。