水素原子の量子力学で、l(l+1) とおく議論

質問

水素原子を解く際、
（ｒによる項）＝（θ、φによる項）＝ l ( l+1) 　　　（l：小文字のエル）
とおき、l が整数のときはルジャンドル陪多項式に帰着できるので・・・

という議論がありますが、これだけでなく
「 l が整数でないときにこの微分方程式を満たしえない」
ことを示さないと、角量子数が離散的になることの説明にはならないはずです。

ルジャンドル陪多項式の満たす微分方程式において、l が整数でないと階が存在しないことは、どのように証明するのでしょうか？？

以前シッフの本を読んだとき、
「l(l+1)において、l が整数でないと、θに依存する項を解いたときに、θ=0 で発散してしまう」と書いてあったのですが、行間が埋められませんでした

回答No.1

eatern27 · ベストアンサー

x=cosθとした時、一般のlに対する、微分方程式の解は
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AB%E3%82%B8%E3%83%A3%E3%83%B3%E3%83%89%E3%83%AB%E3%81%AE%E5%BE%AE%E5%88%86%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F
のように与えられます。

この解はどちらも(あるいは、どのように線形結合をとっても) x=±1のところで発散してしまうんですね。つまり、z軸上で波動関数が発散しているということになってしまうのですが、それでは困るので、ｌが整数に限られます。

補足

おお、νが整数じゃないときの表式を教えていただき、ありがとうございます。

この「下付きのｎ」の意味がよく分からないのですが。。。

回答No.2

eatern27

あぁ、確か、
(a)_0=1
(a)_n＝a(a+1)・・・(a+n-1)　
という意味じゃなかったかな。

お礼

なるほど．ありがとうございました！