水素原子の有効ポテンシャルの展開

質問

電磁気学の演習で次のような問題に取り組んでいるのですが、よく分からず困っています…

古典論で水素原子の有効ポテンシャルは
U(r)=-e^2/r+l^2/2mr^2
である。(lは角運動量)
U(r)の極小点をr0とし、Uをr0を中心にrの二次まで展開せよ。
また電場Eを与えると安定点はr0からどれだけずれるか。

このずれから、最終的に電気双極子モーメントを求めるという流れです。
まず、初めの展開が上手くできずに困っています。
テイラー展開をして
U=3(-e^2/r0+l^2/mr0^2)+(3e^2/r0-4l^2/mr0^3)r
+(-e^2/r0^3+3l^2/2mro^4)r^2+....
と計算しましたがこれは合っていますでしょうか？
また二次の項まで求めてそれをどう利用するのかが分りません。
勉強不足で申し訳ないのですが、何かヒントでも頂けたら幸いです。

回答No.1

shippo_ppk · ベストアンサー

テイラー展開は間違ってます。第１項がなんでこんな式
3(-e^2/r0+l^2/mr0^2)
になったのか不思議です。

こんな流れで解くのかと思います。

U(ro-Δr) - U(ro) = U'(ro)Δr + U"(ro)Δr^2/2 = -eEΔr
Δr = [eE - U'(ro)/2] / U"(ro)

Δr(E) は Δr(0)=0 なので U'(ro)は無視できるとすると
Δr = 2eE / U"(ro)

お礼

回答ありがとうございます！
展開については試行錯誤していたら何とかできたようです。
なるほど、流れが分りました。
自力でやってみます。