一次独立

質問

(1)V=C^0(R)（←R上の実数値連続関数の全体）
v_1=e^x,v_2=e^(2x),v_3=e^(3x)は一次独立であること示せ。

(2)v_1=e^(a_1・x),…,v_r=e^(a_r・x)
a_1,…,a_rはどの2つも同じでないは、一次独立であることを示せ。
ヒント:微分、ファンデルモンドの行列式を使う。

(1)は、一次独立の定義より、c_1・v_1+c_2・v_2+c_3・v_3=0となるc_1,c_2,c_3∈Rがc_1=c_2=c_3=0を導き出せば、一次独立（線形独立）になることは分かります。
c_1=c_2=c_3=0を導き出すところで、
c_1・e^x+c_2・e^(2x)+c_3・e^(3x)=0
e^x(c_1+c_2・e^2+c_3・e^3)=0
e^x≠0なので、c_1+c_2・e^2+c_3・e^3=0
e^2≠0,e^3≠0より
c_1=c_2=c_3=0になる。
という導き方でいいのでしょうか？

(2)の方は、問題の意味がよく分からないので、詳しく教えていただけると助かります。
よろしくお願いします。

回答No.3

kup3kup3 · ベストアンサー

こんばんは。
>c_1=c_2=c_3=0を導き出すところで、
c_1・e^x+c_2・e^(2x)+c_3・e^(3x)=0
e^x(c_1+c_2・e^2+c_3・e^3)=0

とありますが、
c_1・e^x+c_2・e^(2x)+c_3・e^(3x)=0　・・・(ア)を微分すると、
c_1・e^x+2・c_2・e^(2x)+3・c_3・e^(3x)=0・・・(イ)となるのが正しい。
だから　あなたの様にやると、
e^x≠0なので、c_1+2・c_2・e^x+3・c_3・e^(2x)=0となります。

この(ア)はもう一回微分して、
c_1・e^x+2^2・c_2・e^(2x)+3^2・c_3・e^(3x)=0・・・(ウ)
として、（ア）（イ）（ウ）をc_1,c_2，c_3の連立方程式を解くわけです。
よって　
(e^x e^(2x) e^(3x) ) ( c_1 ) (0)
(e^x 2e^(2x) 3e^(3x) ) ( c_2 ) = (0)
(e^x 2^2e^(2x) 3^2e^(3x)) (c_3 ) (0)
を解けばよい。そこで、上の行列をＡとおいたとき、
detA≠0を示せばよいのです。
　　　|e^x e^(2x) e^(3x) |
detA= |e^x 2e^(2x) 3e^(3x) |
　　　|e^x 2^2e^(2x) 3^2e^(3x)|

=e^{(1+2+3)x}
| 1 1 1 |
= |1 2 3 |
　|1 2^2 3^2 |

= (18+3+4)-(2+12+9)=25-23=2≠0 　つまり、detA≠0
よって、Cramerの公式から、 (c_1，c_2 c_3)^t=(0 0 0)^t
となって、
v_1=e^x,v_2=e^(2x),v_3=e^(3x)は一次独立であることが示された。
(2)
　(1)は(2)の伏線です。e^(a_1・x),…,e^(a_r・x) のr個
ありますから、同じように最初の式
c_1・e^(a_1・x)+c_2・e^(a_2・x)・・・+c_r・e^(a_r・x)=0 ・・・(#)とおき、これを
順次微分を(rー1)回してならべ、c_1,c_2,・・,c_rの連立方程式
(e^(a_1・x) e^(a_2・x) ・ 　　 e^(a_r・x)) (c_1) (0)
(a_1・e^(a_1・x) 　a_2・ e^(a_2・x)　・ 　 a_r e^(a_r・x)) ( c_2) (0)
(・　　　・　　　・　　　　　　　・　　　　　　 ・　 ) (・ )　 =(・)
((a_1)^(r-1)・e^(a_1・x) (a_2)^(r-1)e^(a_2・x) . (a_r)^(r-1)e^(a_r・x)) (c_r) (0)
ができます。
この行列をＡ_rとおくと、
detＡ_r=e^{(a_1+a_2+・ ・ ・+ a_r)x}×detB_r
となります。

detB_rは次のようになります。
|　1 　　 1 ・ ・ ・ 　　 1 　　 |
|(a_1)^2 　(a_2)^2 　　・ 　 ・ 　(a_r)^2 |
|・　　　・　　　・　　　　　　　・　　　　　　 ・　　　　|
|(a_1)^(r-1) (a_2)^(r-1) ・　 ・ (a_r)^(r-1) |

detB_rをVandemonde(ファンデルモンド）の行列式
といいます。

a_1 、a_2，．．．, a_rが全て異なっているとき、これは0になりません。
よって、detB_r≠0となり、
detＡ_r=e^{(a_1+a_2+・ ・ ・+ a_r)x}×detB_r≠0となって
証明ができます。それは、
detB_r=(-1)^{r(r-1)/2×Δ(a_1,a_2,..,a_r) ・・・(★）というのが
「ファンデルモンド」の公式で、
ここに、Δ(a_1,a_2,..,a_r)はa_1,a_2,..,a_rの「差積」といって
Δ(a_1,a_2,..,a_r)=(a_1-a_2)(a_1-a_3)....・(a_1-a_r)
　　　　　　　　　　　　 ×(a_2-a_3)....・(a_2-a_r)
・・・・・
×{a_(r-1)-a_r}
としたものです。
a_1,a_2,・ ・ ・,a_rがどの2つも同じでない　⇔Δ(a_1,a_2,..,a_r)≠0　というわけです。

お礼

回答ありがとうございます。
無事解くことができました、ありがとうございました。

回答No.2

33550336

ｆがＶ上０になるとは任意のｘ∈Ｒに対してｆ(ｘ)＝０になるということです。

(1)は適当に実数を３つ代入してみてください。
０、１、－１で大丈夫だと思います。

(2)は一次結合の式をｒ－１回微分して
ｒ本の式を行列表示してください。
ちなみにファンデルモンドの行列式については
線形代数の教科書にのってるはずなので見てみてください。

お礼

アドバイスありがとうございました！
無事解くことができました。

回答No.1

koko_u_

>e^x(c_1+c_2・e^2+c_3・e^3)=0
検算して下さい。

お礼

アドバイスありがとうございました！