１次独立に関する質問です。

質問

まず僕が使っているテキストは松坂さんの『線形代数入門』です。

本書において一次独立は、
『Vをベクトル空間としてvi(i=1,2,…n)をVの要素とする。
c1v1+c2v2+…+cnvn=0を満たすのは
c1=c2=…=cn=0のときに限る
このとき、{v1,v2,…,vn}は１次独立である。』
という風に定義されているのですが、

c1v1+c2v2+…+cnvn=0において
c1=c2=…=cn=0
が常に成り立たなければならない状況ならば、
{v1,v2,…,vn}は１次独立といえますか？

回答No.6

alice_44 · ベストアンサー

違和感は、感じかたの問題ですが、
事実として、

＞ c1v1+c2v2+…+cnvn=0を満たすのは
＞ c1=c2=…=cn=0のときに限る
＞ このとき、{v1,v2,…,vn}は１次独立

と

＞ c1v1+c2v2+…+cnvn=0において
＞ c1=c2=…=cn=0
＞ が常に成り立たなければならない状況ならば、
＞ {v1,v2,…,vn}は１次独立

は、全く同じ内容であり、

＞ c1=c2=…=cn=0が成り立っていても
＞ {v1,v2,…,vn}が一次独立でない

は、その反例ではありません。

＞ c1=c2=…=cn=0が成り立っていても
＞ {v1,v2,…,vn}が一次独立でない

となる例は、もちろん(たくさん)あります。

c1=c2=…=cn=0が成り立っていれば
c1v1+c2v2+…+cnvn=0になるのは当然であり、
{v1,v2,…,vn}が一次独立か否かとは
何の関係もありません。

回答No.5

axsies

> １次独立は
> c1v1+c2v2+…+cnvn=0⇔c1=c2=…=cn=0
> と解釈してよいのでしょうか？

はい、そうなります。
まぁ、

c1v1+c2v2+…+cnvn=0 ← c1=c2=…=cn=0

は、{v1,…,vn}がどんなベクトルかに関わらず成り立つ、自明な命題なので

c1v1+c2v2+…+cnvn=0 → c1=c2=…=cn=0

だけでも、一次独立と呼びます。
そして、これを記号を使わずに言葉で表現すれば「c1v1+c2v2+…+cnvn=0を満たすのは、c1=c2=…=cn=0のときに限る」のようになるわけです。

お礼

違和感が消えました。ありがとうございます。返信おそくなって申し訳ないです。

回答No.4

axsies

「常に成り立っている」の解釈が少し曖昧に思えます。

(1) c1v1+c2v2+…+cnvn=0において、c1=c2=…=cn=0が常に成り立っているのならば、{v1…vn}は一次独立。
(2) c1v1+c2v2+…+cnvn=0において、c1=c2=…=cn=0が成り立っているのならば、{v1…vn}は一次独立。

(1)は、c1=c2=…=cn=0以外には成り立たない、の意味で「常に成り立っている」と言っているのなら、これは定義の言葉を換えただけというのはおわかりいただけるかと思います。

(2)は「常に」が抜けただけですが、意味はかなり変わっています。
これは「c1=c2=…=cn=0だけはとりあえず成り立つ事を仮定します。」ということを言っているだけです。
c1=c2=…=cn=0は一次独立であるための必要条件に過ぎません。
一次独立と言うためには、c1=c2=…=cn=0以外の{c1,c2…cn}の数の組では成り立たない事を示す必要があります。

この二つの命題が混同しているように思えるのですが、どうでしょうか？
言葉の曖昧さを排除するために論理記号で表現すると、違和感の正体を突き止められるかもしれません。

お礼

回答ありがとうございます。かなり疑問点が解消されてきました。
c1v1+c2v2+…+cnvn=0が成り立つ時、
条件などを考慮すると、c1=c2=…=cn=0であると証明の一部から切り取った小命題だったんですけど、

＞＞(1)は、c1=c2=…=cn=0以外には成り立たない、の意味で「常に成り立っている」
そういうことだったんですね。

１次独立は
c1v1+c2v2+…+cnvn=0⇔c1=c2=…=cn=0
と解釈してよいのでしょうか？

回答No.3

axsies

すいません、「常に成り立たなければならない」を「常に成り立たない」と読み違えていました…。
No2の方の仰るとおり、表現を変えただけで同じ意味を表しているように見えます。

お礼

回答ありがとうございます。No2のお礼にも書いたのですが、
c1=c2=…=cn=0が成り立っていても
{v1,v2,…,vn}が一次独立でないという場合はないんでしょうか？

どこか違和感を感じます。

回答No.2

alice_44

言えますよ。
その本の定義と、貴方の言い方は、
内容が同じです。

お礼

回答ありがとうございます。
c1=c2=…=cn=0が成り立っていても
{v1,v2,…,vn}が一次独立でないという場合はないんでしょうか？
なんか直感的に違和感を感じます…。

回答No.1

axsies

言えません。

c1v1+c2v2+…+cnvn=0を満たすのは
c1=c2=…=cn=0のときに限る
　　　　　　　　　　~~~~~~~~~~~
わけですから、c1=c2=…=cn=0以外でc1v1+c2v2+…+cnvn=0が成り立ったのなら、一次独立の定義から外れています。

例：
c1=1
c2=1
v1=(1,0)
v2=(-1,0)
とすると、
c1=c2≠0、c1v1+c2v2=0
v1、v2はc1=c2=0以外でc1v1+c2v2=0を満たすので、一次独立ではない。