この問題の答と解き方教えてください。

質問

１、実数a,b(b≠0)に対して、関数
　　　　e^ax・cosbx,e^ax・sinbx∈C^∞(R)
　はＲ上線型独立であることを示せ。
（e^axはeのax乗、C^∞はCの無限界微分のことです。）

２、R^(4)の基底で、ベクトル(2,1,4,3),(2,1,2,0)を含むものを１組求めよ。

３、（１）C^(3) において
　　Λ={v1=(2,i-1,i-1),v2=(1,-1,i),v3=(i,3-i,2i-4)}
が基底になることを示し、Λに関する(1,i,i+1)の座標を求めよ。
　　（２）Ρ3(R)において、
　　　　　　　Λ={1,x-2,(x-2)^2,(x-2)^3}
が基底になることを示し、Λに関するx^3-3x^2-2x+5の座標を求めよ。

上記の問題が全くといっていいほど分かりません。
是非、回答と解き方を教えてください。
お願いします。

回答No.2

oodaiko · ベストアンサー

「線形独立」と「基底」の概念を復習しましょう。

実数Ｒ（または複素数Ｃ）上のベクトル空間Ｘのn個の元{x_1,…,x_n}が

n個の実数（Ｃ上のベクトル空間なら複素数）の組{r_1, … r_n}に対し
r_1 x_1 + … r_n x_n = ０ （０は零ベクトル）
となるならばr_1= …=r_n=0 である。

と言う条件を満たすとき、{x_1,…,x_n}はＲ上（またはＣ上）線形独立である、と言います。
またＸの任意の要素xを、{x_1,…,x_n}とある実数（または複素数）の組{r_1, … r_n}を使って
x = r_1 x_1 + … r_n x_n
と書きあらわすことができる（線形結合として表現できる）時、{x_1,…,x_n}はＸの基底と呼ばれます。さらにnはＸの次元と呼ばれます。
n次元ベクトル空間Ｘのn個の線形独立なベクトルの組はＸの基底になります。

ここで「ベクトル」というのは高校で習ったような単なる「数の組」ではなくもっと抽象化されたものです。もちろん「数の組」も「ベクトル」とみなされますが、その他に関数や多項式など定義の方法によって「ベクトル」とみなすことができます。

＞１、実数a,b(b≠0)に対して、関数
＞e^ax・cosbx,e^ax・sinbx∈C^∞(R)
＞はＲ上線型独立であることを示せ。

問題の意味は
{e^ax・cosbx,e^ax・sinbx｜a,b∈Ｒ}がＲ上線形独立であることを示せ
と理解できないこともないのですが、他の問題から見てそこまでのレベルのものではないでしょう（無限個の要素に対する線形独立の概念を定義しなければならない）そこで素直に

任意の実数a,b(b≠0)を固定した時、２つの関数
e^ax・cosbx,e^ax・sinbx∈C^∞(R)
はＲ上線型独立であることを示せ。

という問題だと解釈しておきます。
定義に従えば、この２つがＲ上線形独立であることを示すには、

２つの実数r_1,r_2を使って
r_1・e^ax・cosbx + r_2・e^ax・sinbx = ０ 　　　　　　　　　　　　　……(1)
と書けるならばr_1=r_2=0である。

ことを示せば良いのです。ここで零ベクトル０とは恒等的に0となる関数のことです。
これを示します。

今x=0とすると(1)式は
r_1・e^0・cos(0) + r_2・e^0・sin(0) = r_1 = 0
となります。すなわちr_1 = 0です。同様にx=π/(2b)とするとr_2 = 0が示せます。
よってr_1=r_2=0であり、e^ax・cosbx,e^ax・sinbxがＲ上線型独立であることが示された。　　■

＞R^(4)の基底で、ベクトル(2,1,4,3),(2,1,2,0)を含むものを１組求めよ。
R^(4)はＲ上の４次元ベクトル空間ですから基底は４つの線形独立なベクトルの組です。
２つが与えられていますからあと２つ必要です。{(2,1,4,3),(2,1,2,0)}と線形独立になるベクトルを２つ求めて下さい。

＞３、（１）C^(3) において
＞Λ={v1=(2,i-1,i-1),v2=(1,-1,i),v3=(i,3-i,2i-4)}
＞が基底になることを示し、Λに関する(1,i,i+1)の座標を求めよ。
C^(3)はＣ上の３次元ベクトル空間で、Λは３個のベクトルの組ですから、これが基底になることを示すにはΛがＣ上線形独立な組であることだけ示せばＯＫです。３つの複素数a,b,cに対し
a(2,i-1,i-1) ＋ b(1,-1,i) ＋ c(i,3-i,2i-4) ＝０＝(0,0,0)　　……(2)
とします。成分毎に計算して書き下すと(2)式は
(2a+b+ci, (i-1)a - b + (3-i)c , (i-1)a + bi + (2i-4)c) ＝(0,0,0)
となります。すなわちa,b,cは３元連立１次方程式
2a+b+ci=0 , (i-1)a - b + (3-i)c = 0 , (i-1)a + bi + (2i-4)c = 0
の解になります。この方程式を解いてください。解はa=b=c=0しか有り得ないことがわかるはずです。

＞Λに関する(1,i,i+1)の座標を求めよ。
今と全く同様です。すなわち
a(2,i-1,i-1) ＋ b(1,-1,i) ＋ c(i,3-i,2i-4) ＝(1,i,i+1)　　……(2)
となるような３つの複素数a,b,c（の組を(a,b,c)と書いたもの）がΛに関する(1,i,i+1)の座標の座標となります。あとは上と同様に連立１次方程式を解いて下さい。　　■

＞（２）Ρ3(R)において、
＞Λ＝{1,x-2,(x-2)^2,(x-2)^3}
＞が基底になることを示し、
P3(R)というのはＲ上の３次多項式全体の集合をベクトル空間とみなしたものです。
まずΛが線形独立になることを示します。すなわち

４つの実数a,b,c,dに対し
a + b(x-2) + c(x-2)^2 + d(x-2)^3 = 0
ならばa=b=c=d=0

であることを示します。やりかたは（１）の場合と同様です。
（ヒント：xに3,2,1,0を代入して４元連立１次方程式を作って下さい）

次にΡ3(R)の任意の要素がΛの線形結合として表せることを示します。
Ρ3(R)の任意の要素は実数α,β,γ,δを使って
α x^3 + βx^2 + γx^ + δ
と書けます。従ってある４つの実数a,b,c,dを使って
a + b(x-2) + c(x-2)^2 + d(x-2)^3 = α x^3 + βx^2 + γx^ + δ　…(3)
と書けることを示せばよいのです。
そのためには(3)式の左辺を展開してxの次数毎に係数を比較することで４元連立１次方程式を作り、この方程式がどんなα,β,γ,δの組に対しても解を持つことを示して下さい。（解は１通りでなくてもよい）
すなわちそれがΡ3(R)の任意の要素をΛの線形結合として表せることを示したことになります。

＞Λに関するx^3-3x^2-2x+5の座標を求めよ。
上と全く同様です。式
a + b(x-2) + c(x-2)^2 + d(x-2)^3 = x^3-3x^2-2x+5
を満たすようなa,b,c,dの組がΛに関するx^3-3x^2-2x+5の座標になります。解き方は上と同様。　　　　　　　　■

きついことを言うようですが、解き方がまったくわからないということは、enarikunさんが「線形独立」「基底」の意味も定義も理解していないと言うことです。
これらを理解していれば少なくとも問題を解くためにどういうことを示せば良いかということくらいはわかるはずです。まずは用語の定義とイメージ（例えば普通の３次元空間では線形独立なベクトルとはどんなものか、基底とはどんなものか）をつかむようにしましょう。

お礼

回答いただきありがとうございました。
もう一度基本に戻りやり直していきたいと思います。

回答No.1

roro02

線形独立、基底のそれぞれの定義を復習しましょう。

全くといっていいほど分からないとき、立ち戻るのは用語の定義です。
必ず教科書に載っていますから、それを読んで理解しましょう。

それだけで少なくとも1と3の半分は解けます。

それから、3の(2)にあるＰ3(R)とは何ですか？

補足

ここに書かれている3はＰの下についているということです。