線形変換にて自己随伴とは?

質問

VをF上の線形空間とする。

[随伴写像とは]
A∈L(V)({=f∈Map(V,V);f is linear}),∃1C∈L(V')(V'はF線形空間Vの双対空
間);∀(x,y)∈V×V',y(Ax)=(Cy)(x)(∈F) (i.e. [Ax,y]=[x,Cy])
(⇔def)
C をAのadjoint(随伴写像)と言い、adjA:=Cと示す。
(∃1は"一意的に存在する"を意味する)

が随伴写像の定義だと思います。

と随伴写像の定義までわかりましたが自己随伴変換(self-adjoint transformation)の定義が分かりません。
上記で特にA=Cの場合(つまりadjA=Aの場合),CはAの"自己随伴である"
と言ったりするのでしょうか?
自己随伴の定義をご教示ください。

回答No.1

noname#50894 · ベストアンサー

“随伴写像（もしくは共役写像）”は、内積が定義される線形空間
（ユニタリー空間もしくはヒルベルト空間）上で定義されるので、

一般にV，V'をHilbert空間として
線形写像A：V→V'，C：V'→Vについて、
(Ax,y)=(x,Cy)［x∈V,y∈V'］
［左辺はV'における内積、右辺はVにおける内積］
のとき、CをAの随伴写像写像という。

特に、V=V'でC=Aの時、CをAの自己随伴写像という。

Nnarumiさんのご質問の用語の使い方が不明で、
>A∈L(V)({=f∈Map(V,V);f is linear}),∃1C∈L(V')(V'はF線形空間Vの双対空間)
>;∀(x,y)∈V×V',y(Ax)=(Cy)(x)(∈F) (i.e. [Ax,y]=[x,Cy])
の最後の演算は、内積を前提にしているのでしょうかね。

お礼

大変有難うございます。

> “随伴写像（もしくは共役写像）”は、内積が定義される線形空間
> （ユニタリー空間もしくはヒルベルト空間）上で定義されるので、
> 一般にV，V'をHilbert空間として
> 線形写像A：V→V'，C：V'→Vについて、
> (Ax,y)=(x,Cy)［x∈V,y∈V'］
> ［左辺はV'における内積、右辺はVにおける内積］
> のとき、CをAの随伴写像写像という。
> 特に、V=V'でC=Aの時、CをAの自己随伴写像という。

ご回答有難うございます。
F線形空間V,V'がHilbert空間とすると
∀A∈L(V,V'),x∈V,y∈V',∃1C∈L(V',V) such that
ξ(x,C(y))=ζ(A(x),y)
(注: ξ(,)とζ(,)は夫々V上とV'上の内積を表す)
と言え,このCをmap of map of adjoint of Aと呼ぶのですね。

特に
F線形空間VがHilbert空間とすると
∀A∈L(V),x,y∈V,∃1C∈L(V) such that
ξ(x,C(y))=ξ(A(x),y)
(注: ξ(,)はV上の内積を表す)
更にA=Cの場合,AをCの自己随伴写像と呼ぶのですね。

> Nnarumiさんのご質問の用語の使い方が不明で、
> >A∈L(V)({=f∈Map(V,V);f is linear}),∃1C∈L(V')(V'はF線形空間Vの双対空間)
> >;∀(x,y)∈V×V',y(Ax)=(Cy)(x)(∈F) (i.e. [Ax,y]=[x,Cy])
> の最後の演算は、内積を前提にしているのでしょうかね。

いえ、マル括弧は演算順序を分かり易くするためだけのものです。
箱括弧は[Ax,y]はy(A(x))(xを写像Aで写し,それを写像yで写す)を意味する記号です。