線形独立を示す。(基底の分野です。)

質問

線形代数の問題です。

Ｗ:＝“有限生成”とするとき、
(Ｖ＝Ｃ^0　[a，b]、Ｗ:＝{Σ(k=1 to n )Ｃk・ｅ^kx ｜ Ｃk∈Ｒ)
Ｖ≧Ｗ＝＜e^x、e^2x、…、e^nx＞）の
{e^x、e^2x、…、e^nx}＝“線形独立”を示せ。

(1){e^x、e^2x、…、e^nx}はＷの生成系　(★証明済み)
(2)e^x、e^2x、…、e^nx≠０　(恒等的に０でない)

(2)証明
Σ(k=1 to n )Ｃk・ｅ^kx＝０　(定数関数)(恒等的に０)
Ｃ1・ｅ^x＋Ｃ2・ｅ^2x＋…Ｃn・ｅ^nx＝０(恒等的に０)
両辺に1／ｅ^xをかけると、
Ｃ1＋Ｃ2・ｅ^x＋…＋Ｃn・ｅ^(n－1)x＝０　　・・・(1)
x＝０を代入
Ｃ1＋Ｃ2＋…＋Ｃn＝０　　　・・・(2)
(1)をxで微分する
Ｃ2・e^x＋２Ｃ3・ｅ^2x＋…＋(n－1)Ｃn・ｅ^(n－1)x＝０(恒等的に０)
x＝０を代入
Ｃ2＋２Ｃ3＋…＋(n－1)Ｃn＝０
・・・

この続きが分かりません。(分かりづらくてすみません）
何か、決まったやり方があるようなのですが・・・。
どなたかよろしくお願いします。

回答No.1

Nandayer · ベストアンサー

もう、ほとんどできてると思います。

　Ｃ1＋Ｃ2＋…＋Ｃn＝０ 　（１回目）
　Ｃ2＋２*Ｃ3＋…＋(n－1)*Ｃn＝０ 　（２回目）
がすでに出ていますが、
　Ｃ2*e^x＋２*Ｃ3*ｅ^2x＋…＋(n－1*Ｃn*ｅ^(n－1)x＝０
の両辺に1／ｅ^xをかけて、xで微分し、x＝０を代入を代入すると、
　 1*2*C3 + 2*3*C4 ＋ … ＋(n－2)*(n－1)*Ｃn＝０ 　（３回目）
になります。
　これをくりかえしていくと、
　　　1*2* … *(n－2)*Ｃn-1 + 2* … *(n－1)*Ｃn＝０ 　（(n-2)回目）
　　　1*2* … *(n－1)*Ｃn＝０ 　（(n-1)回目）
になります。

　(n-1)回目の式より
　　Ｃn＝０
これを (n-2) 回目の式に代入して、
　　Ｃn-1 ＝０
で、どんどん逆に代入していって、
　　Ｃ1 ＝０
まで得ることができます。
　これで線形独立性が示せたでしょう。

　見づらい・分かりづらいですが、このカテの宿命ですね。

お礼

ありがとうございます。
何度も繰り返せばいいんですね。

細かい式までありがとうございました。