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順列・組み合わせの応用に関する問題
- 順列・組み合わせに関する問題で、机といすの組み合わせや乗船方法の場合分けを考えます。
- 問題１では、５組の机といすの組み合わせの中で、異なる組み合わせを作る方法の数を求めます。
- 問題２では、３人乗りのボートが２そうあり、４人をボートに分乗させる場合の数を場合分けして考えます。
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■問題１■*********************************************************************** 机といすが対になって５組ある。これらをばらばらにして、もう一度５組の対をつくった とき、すべての机といすの組み合わせがはじめと異なるのは何通りあるか。 ********************************************************************************* ★解★ 一番初めに対になっている机といすにＡＡＢＢＣＣＤＤＥＥと同じ文字をつけておこう。 机ＡＢＣＤＥを並べておいて，違う文字のいすを並べることを考える。 ○２個３個の組で置き換える。 ＡとＢをおきかえて、ＣＤＥを置き換えると （ＡとＢを置き換える）（ＣをＤにＤをＥにＥをＣに置き換える） （ＡとＢを置き換える）（ＣをＥにＥをＤにＤをＣに置き換える） ＡとＣをおきかえて、ＢＤＥを置き換えると （ＡとＣを置き換える）（ＢをＤにＤをＥにＥをＢに置き換える） （ＡとＣを置き換える）（ＢをＥにＥをＤにＤをＢに置き換える） ＡとＤをおきかえて、ＢＣＥを置き換えると （ＡとＤを置き換える）（ＢをＣにＣをＥにＥをＢに置き換える） （ＡとＤを置き換える）（ＢをＥにＥをＣにＣをＢに置き換える） ＡとＥをおきかえて、ＢＣＤを置き換えると （ＡとＥを置き換える）（ＢをＣにＣをＤにＤをＢに置き換える） （ＡとＥを置き換える）（ＢをＣにＣをＤにＤをＢに置き換える） ＢとＣをおきかえて、ＡＤＥを置き換えると ＢとＤをおきかえて、ＡＣＥを置き換えると ＢとＥをおきかえて、ＡＣＤを置き換えると ＣとＤをおきかえて、ＡＢＥを置き換えると ＣとＥをおきかえて、ＡＢＤを置き換えると ＤとＥをおきかえて、ＡＢＣを置き換えると １０×2＝20(通り) ○5個を循環して置き換える。 ＡをＢにＢをＣにＣをＤにＤをＥにＥをＡに置き換える ことを（ＡＢＣＤＥ）と書くことにすると 5個を循環して置き換える方法は。 （ＡＢＣＤＥ） （ＡＢＣＥＤ） など、4！＝24（通り）ある。 20+24＝44(通り) ■答え■ 44通り -------------------------------------------------------------------------- 少し詳しくしてみたよ。
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- good777
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- good777
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別解） ＡＢＣＤＥに対し、Ａを何かに置き換えある。たとえば、Ｂに置き換える。 あとは、ＣＤＥのおきかえるのと、ＡをはじめのＢとみなしたＡＣＤＥの置き換えを考える。 つまり、 ＡＢＣＤＥに対し、 ＢＡＤＥＣ ＢＡＥＣＤ ＢＣＡＥＤ ＢＣＤＥＡ ＢＣＥＡＤ ＢＤＥＡＣ ＢＤＥＣＡ ＢＤＡＥＣ ＢＥＤＣＡ ＢＥＡＣＤ ＢＥＤＡＣ の11通り、 はじめにＡと取り替えるのはＢを含めて4通りある。 4×11＝44 ■答え■ 44通り 一般には、 ｎ個のものを置き換えるの置き換えの総数を ｆ(ｎ)とすると、 ｆ（ｎ）＝（ｎ-1）（ｆ（ｎ-1）+ｆ（ｎ-2）） となります。 ｆ（1）＝0 ｆ（2）＝1 ｆ（3）＝2×（0+1）＝2 ｆ（4）＝3×（2+1）＝9 ｆ（5）＝4×（2+9）＝44 ｆ（6）＝5×（9+44）＝265 です。
お礼
ご回答ありがとございます。しかし残念なことにｆ（ｎ）は習ってませんので、わかりません。ｆ（ｎ）って一体・・・
- good777
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■問題１■*********************************************************************** 机といすが対になって５組ある。これらをばらばらにして、もう一度５組の対をつくった とき、すべての机といすの組み合わせがはじめと異なるのは何通りあるか。 ********************************************************************************* ★解★ ＡＢＣＤＥに対し ＡとＢをおきかえて、ＣＤＥを置き換えると ＢＡＤＥＣ ＢＡＥＣＤ と2とおりできる。 このようの、2個3個の2組に分けて置き換える分け方は 5Ｃ2＝10（通り）ある。 ＡをＢに、ＢをＣに、ＣをＤに、ＤをＥに、ＥをＡに おきかえると、 ＢＣＤＥＡ となる。 このように、5個を循環させる方法は 4！＝4・3・2・1＝24(通り) ２×10＋24＝44(通り) ■答え■ 44通り ■問題２■*********************************************************************** ３人乗りのボートが２そうある。４人がこれに分乗する方法は次の場合、それぞれ何通りか。 (a) 人もボートも区別しないで、人数の分け方だけを考える (b) 人は区別しないが、ボートはＡ，Ｂと区別する (c) ボートも人も区別して考えるが、座席は問題にしない (d) どの人が、どのボートの、どの座席につくかまで区別する ********************************************************************************* ★解★ （a）（a）1+3=4,2+2=4の２通り （b）1+3＝4、2+2＝4、3+1＝4の３通り （c）ボート甲、乙の人数が1,3のとき 4Ｃ1＝4（通り） ボート甲、乙の人数が2,2のとき 4Ｃ2＝4×3÷(2×1)＝6（通り） ボート甲、乙の人数が3,1のとき4Ｃ1＝4（通り） 4+6+4＝14(通り) （d）座席を甲1、甲2、甲3、乙1、乙2、乙3 とする。 ABCDがのる4人、EFが最初座席に座るだけでおりてしまう人とする。 （6！）÷（2！）＝6・5・4・3＝360(通り) ■答え■ （a）2通り (b) 3通り (c) 14通り (d) 360通り
お礼
ご回答ありがとうございます。（２）はよくわかりました。（１）の対っていうのがまだ気になります。雰囲気的にＡとＡ'、ＢとＢ'・・・・みたいなのかと思ってました。
＃２で指摘されたとおり（１）については、私の問題の読み間違いです。 申し訳ありませんでした。 ＃２の答で正解だと思います。
- shinnopapa
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#1の（１）の答えは問題の意味を取り違えているのでは？ 全部同じが１、４組だけ同じは０、３組同じは5C3、２組同じは、5C2×（３！－３－１）、１組同じは5C1（４！－１－４Ｃ２－4C1×２） これらの合計を５！から引くと思うのです。 とうことで１２０－７６＝４４かな 計算間違いあるかも(;^_^A アセアセ…
１）机はそのままいすだけ並べ替えればよい。元通りになるのは１通りだから ５！－１ ２）（ａ）（３，１）（２，２）の２通り （ｂ）（３，１）（２，２）（１，３）の３通り （ｃ）４Ｃ３＋４Ｃ２＋４Ｃ１ （ｄ）６Ｐ４ 座席券を並べると思えばよい
お礼
やっと、納得行きました。本当にありがとうございました