順列・組み合わせの問題です。

質問

(1)　1から10までの自然数の順列　a1,a2,a3‥a10　で
　　条件　　a1<a4<a7<a10 　　 a2>a5>a8　　 a3<a6<a9
　　をすべて満たすものは何通りあるか？

(2)　柿4個、みかん３個を五人に分ける方法は何通りあるか？
　　ただし、柿、みかんともにもらえない人が居てもよい。

(3)　・と－の二種類の記号がある。この記号を用いて100通りの並び方を作りたい。
　　最低何個まで並べればよいか。

(4)　(a+b+c)^7を展開したとき、異なる項の数はいくつか？
　　　　　　　　　　　　　　→同類項の数の出し方は分かったのですが…

という四問です。どのようにして解けばいいのかわかりません。
どれか、一問だけでもいいので、どうかよろしくお願いします。

回答No.4

Mell-Lily · ベストアンサー

(1)
1から10までの10個の数から、任意に4個、例えば、
　2,5,7,9
を抜き出します。これらの数を
　a_1<a_4<a_7<a_10
に当てはめれば、
　a_1=2,a_4=5,a_7=7,a_10=9
となります。残りの
　1,3,4,6,8,10
の6個の数から、任意に3個、例えば、
　1,3,10
を抜き出します。これらの数を
　a_2>a_5>a_8
に当てはめれば、
　a_2=10,a_5=3,a_8=1
となります。残りの
　4,6,8
の3個の数を
　a_3<a_6<a_9
に当てはめれば、
　a_3=4,a_6=6,a_9=8
となります。よって、求める組の個数は、
　10_C_4×6_C_3={(10×9×8×7)/(4×3×2×1)}×{(6×5×4)/(3×2×1)}=4200 [通り] … (Ans.)
となります。

(2)
Aに1個、Bに1個、Cに2個、Dに0個、Eに0個分けることを、
　(A,B,C,D,E)－(1,1,2,0,0)
と表します。すると、4個の柿をA,B,C,D,Eの五人の人に分ける方法は、
　(4,0,0,0,0)の入れ替え … 5 [通り]
　(3,1,0,0,0)の入れ替え … 5×4=20 [通り]
　(2,2,0,0,0)の入れ替え … 5_C_2=10 [通り]
　(2,1,1,0,0)の入れ替え … 5×4_C_2=30 [通り]
　(1,1,1,1,0)の入れ替え … 5 [通り]
で、結局、
　5+20+10+30+5=70 [通り]
だけあります。一方、3個のみかんを五人に分ける方法は、
　(3,0,0,0,0) … 5 [通り]
　(2,1,0,0,0) … 5×4=20 [通り]
　(1,1,1,0,0) … 5_C_3=10 [通り]
で、結局、
　5+20+10=35 [通り]
だけあります。よって、全部で、
　70×35=2450 [通り] … (Ans.)
だけあります。

(3)
例えば、記号・を4個、記号-を4個、合計8個の記号を使えば、
　8_C_4=70 [通り]
だけ作れます。
記号・を4個、記号-を5個、合計9個の記号を使えば、
　9_C_5=126 [通り]
だけ作れます。ゆえに、求める個数は、
　9 [個] … (Ans.)
になります。

(4)
できる項は、
　a^xb^yc^z
という形をしています。ここで、x,y,zは、
　x+y+z=7,0≦x,y,z≦7
を満たす整数です。
　a^5bc
という項を
　(x,y,z)－(5,1,1)
で表します。すると、
　(7,0,0)の入れ替え … 3 [個]
　(6,1,0)の入れ替え … 6 [個]
　(5,2,0)の入れ替え … 6 [個]
　(5,1,1)の入れ替え … 3 [個]
　(4,3,0)の入れ替え … 6 [個]
　(4,2,1)の入れ替え … 6 [個]
　(3,3,1)の入れ替え … 3 [個]
で、結局、
　6×4+3×3=24+12=36 [個] … (Ans.)
だけあります。

お礼

詳しい回答ありがとうございました。
理解できそうです。・・・頑張ります・・・

ところで、（３）なんですが、解答には６個とあるんですが・・・
その解答には全く解説がついてなくて困っています。

回答No.8

Le-Livre

#1のものです。

なるほどなるほど、kony0さんのように考えると、６通りであらわせますね！

間違ったこと書いてごめんなさいでした(--;

お礼

何度も回答ありがとうございます。
私こそ、質問の仕方が悪くてすいませんでした。
二進数という考え方には本当に感謝しています(^^)

回答No.7

kony0

議論を醸している(3)なのですが、解答から逆読みすると・・・
「6個」というのは、「１個～６個のいずれか」ということであり、
「・」と「・・」と「・・・・・・」は異なると解釈すれば、
ｎ個以内の記号を用いてできる並べ方は
Σ(k=1～n) 2^k = 2^(n+1) - 2
よって、2^(n+1) - 2 >= 100 を解いて、n=6 なのではないでしょうか？

お礼

なるほど！！
わかりました。有り難うございました。
私の質問の仕方が悪かったようです・・・

本当にありがとうございました。

回答No.6

Mell-Lily

(3)
問題の趣旨を読み違えました。この問題の趣旨は、
　「記号・と/を自由に使って並び替えをしたとき、並び替えの総数が初めて100通り以上になるのは、記号を何個並べたときか？」
ということですね。例えば、記号を3個使った場合、
　・・・, ・・/, ・/・, ・//, /・・, /・/, //・, ///
の、合計8通りの並び替えがあるということになります。n個の記号を使った場合、並び替えの総数は、
　2^n [通り]
ありますから、
　2^n≧100
を解いて、
　n≧6
が答えになります。
　最低6個まで並べればよい … (Ans.)

(4)の訂正

　(7,0,0)の入れ替え … 3 [個]
　(6,1,0)の入れ替え … 6 [個]
　(5,2,0)の入れ替え … 6 [個]
　(5,1,1)の入れ替え … 3 [個]
　(4,3,0)の入れ替え … 6 [個]
　(4,2,1)の入れ替え … 6 [個]
　(3,3,1)の入れ替え … 3 [個]
で、結局、
　6×4+3×3=24+12=36 [個] … (Ans.)

　↓

　(7,0,0)の入れ替え … 3 [個]
　(6,1,0)の入れ替え … 6 [個]
　(5,2,0)の入れ替え … 6 [個]
　(5,1,1)の入れ替え … 3 [個]
　(4,3,0)の入れ替え … 6 [個]
　(4,2,1)の入れ替え … 6 [個]
　(3,3,1)の入れ替え … 3 [個]
　(3,2,2)の入れ替え … 3 [個]
で、結局、
　6×4+3×4=24+12=36 [個] … (Ans.)

お礼

詳しい回答ありがとうございました。

（３）については、私の質問の仕方が悪かったみたいですね・・・
どうも、すいませんでした。

本当にありがとうございました。

回答No.5

mozniac

(1)はNo.2,4の方のやり方でok。

(2)はNo.4の方のでokですが、別解を。
重複組み合わせってご存じですか？ご存じなければ、参考書等を見てくださいね。
重複組み合わせを柿とみかんで別々に使います。
柿の方は4個の○（この○は柿）と仕切り用のＩを4個並べ替えて、
8!/(4!×4!)=70通り（8Ｃ4=70も可）
みかんは7!/(3!×4!)=35通り（これも7Ｃ3=35でもok）
積の法則より70×35=2450通り

(3)は
経験上、私ならNo.1の方のように答えを出しますが、No.4の方のような答えが正解ととれる問題文です。出題者が悪いですね。

(4)も重複組み合わせでできます。
○7個とＩ2個を一列で並べれば
9!/(7!×2!)=36通りでできあがり。
No.4の方の方法でもokですが、(3,2,2)の3通りが抜けていますね。

siroganekoさんが高校生なら．．．
夏休みの宿題でしょうか。順列・組合せは確率にも繋がり、センターで落としたくない所です。がんばりましよう。

お礼

アドバイスありがとうございました。
ここの分野は苦手なので、解くのがつらいです。

重複組み合わせですね。
参考書でバッチリ確認しました。

ところで、（３）なんですが、解答には６個とあるんですけど・・・（？_？）
解答がおかしいですか？

回答No.3

Le-Livre

(1)の答えは、
下の方のとおり計算すると、210・20=4200
でしょうか。

回答No.2

Masataka1976

(1) ３つの条件に重複した要素を含まないので簡単です。
　一番左の条件は１０個の要素の中から任意の４つの要素を選び出すと
　一意に順序は決まります。
　よって、１０個中から４個を選び出す「組み合わせの数」を求めます。
　当然、その数は
　　10Ｃ4
　と表現されます。
　この条件を満たした上で２番目の条件を満たすものは、
　残った６つの要素から３個を選び出す「組み合わせの数」を求めます。
　当然その数は、
　　6Ｃ3
　となります。
　残りの条件は最後に残った要素の数が３つしかない為に
　「組み合わせの数」は１つだけです。
　これらの条件は「積の法則」が成り立つので求める答えは、
　　10Ｃ4 X 6Ｃ3　
　で求められます。

実際の計算は、自分でしてください。

お礼

回答ありがとうございました。
なるほど～という感じで、とてもわかりやすかったです。
計算やってみます。

回答No.1

Le-Livre

３は

２進数とおんなじ考え方でいいのでは？

・を０、－を１として。

つまり、
１桁では２通り
２桁では４通り
３桁では８通り…っていうふうに。

100-2^n≦0
で最小のｎで出るのかな？

2^6=64,2^7=128

ですから、６桁ではあらわせないので７桁で考えればいいのではないですか。

お礼

ありがとうございました。
２進数と考えると、とても考えやすいような気がします。
試してみます。
ただ、解答には６個とあるんですが・・・