同じ物を含む順列について

質問

昨日同じ事に関する質問をさせてもらいました。
頂いた回答をもとに少し深く考えてみたのですが
自分の考えで正しいのかわかりません。

間違っているところがあれば指摘してください。
よろしくお願いします。

例えば
AABという単語の並び方の数を調べたい時に

まずAを区別がつくものとして　A(1) A(2) B　　として　3!　で計算をします。

しかし実際はAは区別がつかないものなので、同じ物とみなす。
そのため一つの並び方のパターンにつき、Aの並び替え分である　2!倍　が余分に計算されている。
全体として本当の数より2!倍分多い。　
だから全ての並び方の数　3!　から　1/2!倍 して　余計に計算されている並び替え数を除外する。

ということでしょうか。

これは、例えば

9冊の異なる絵本を5冊、2冊、2冊の3組に分ける方法は何通りあるか

という組み合わせの問題の時も

9c5×4c2　で計算した756通りを　2!で割りますが
これも同じような考え方によるものだと考えていいのでしょうか。
よろしくお願いします。

回答No.1

中村 拓男（@tknakamuri） · ベストアンサー

>9冊の異なる絵本を5冊、2冊、2冊の3組に分ける方法は何通りあるか
>
>という組み合わせの問題の時も
>
>9c5×4c2　で計算した756通りを　2!で割りますが
>これも同じような考え方によるものだと考えていいのでしょうか。

考え方としてはほとんど同じですね。注意点がちょっとだけ違う。

3組を全て区別する場合

A, B, C の組で9冊わける方法は 9c5 x 4c2 x 2C2

で、同じ冊数のグループは区別しないという方針なら、B, C を区別しないので
B と C の割り当てを入れ替えて一致する場合があれば一つを残して除かねばなりません。

注意点としては、B と C の割り当てを入れ替えても、B と Cを区別する場合で
違いがないなら除けないということですね。
そういうケースが無いか、考えておくべきだということです。

この場合は9冊の本は全て異なるということなので、入れ替えたら区別する
ケースでは異なるわけ方になります。

大丈夫なので 2! で割ればよいでしょう。

補足

>B と C の割り当てを入れ替えても、B と Cを区別する場合で
>違いがないなら除けない

この部分があまり理解できませんでした。
この理由はなぜなのでしょうか？

回答No.2

中村 拓男（@tknakamuri）

>>B と C の割り当てを入れ替えても、B と Cを区別する場合で
>>違いがないなら除けない

>この部分があまり理解できませんでした。
>この理由はなぜなのでしょうか？

例えば同じ絵本が2冊づつ2組あったら？

ってことです。

補足

度々すみません。
上の問題を、tknakamuriさんが言われているような形に変えるとすると

5冊の異なる本、4冊の同じ本を、5冊、2冊、2冊の3組に分ける方法は何通りあるか

このような問題でしょうか？