以下の2つの命題の違い

質問

以下の2つの命題の違いがわかりません．違いを教えていただけると嬉しいです．((1)は偽で(2)は真だそうです．)

(1)　∀a,b,c∈R{(b≦c→a≦c)→a≦b}
(2)　{∀a,b,c∈R(b≦c→a≦c)}→a≦b

「(1)について，このcは任意ではあるが特定のものである」
のだそうですが，おそらく私は，この「」の中の文章の意味が解り，
さらに(1)の反例が何かが解れば，2つの命題の違いが理解できるのではないかと思っております．
ご教授お願いいたします．

回答No.2

arrysthmia

真偽以前に、
(1)は命題ですが、(2)は命題ではありません。

(2) {∀a,b,c∈R,(b≦c→a≦c)}→a≦b という論理式で、
限量子 ∀a,b,c∈R が掛かる範囲は、{ } の中だけです。
a≦b の a,b は、同じ文字を使ってはいますが、
∀a,b,c∈R の a,b とは異なる変項です。

y = g(x) ∫[aからbまで] f(x) dx と書いたとき、
g(x) の x と、f(x) dx の x とは、異なる変数ですね？
この式を y = g(x) ∫[aからbまで] f(t) dt と書いても
内容が変わらないように、
(2) を {∀s,t,u∈R,(t≦u→s≦u)}→a≦b と書いても
内容は変わりません。
このとき、a≦b が s≦t には置き換えられないことも、
y = g(x) ∫[t=a..b] f(t) dt の場合と同じです。

(2) は、自由変項（限量されてない変項）を持ちますから、
命題ではなく、述語です。

回答No.1

33550336

まず、Ｐ→Ｑの否定はＰ∧￢Ｑです。
これを念頭において

(１)について
この命題の否定は
∃a,b,c∈Ｒ{b＞c∨a≦c}∧a＞b
です。
ａ＝３、ｂ＝２、ｃ＝１のときこれは成立するからこの命題は真。
よって命題(１)は偽。

(２)について
{∀a,b,c∈R(b≦c→a≦c)}が偽だから命題(２)は真。