「命題ＡとＢには論理積の関係がある」←正しい言い方

質問

命題Ａと命題Ｂについて次の４つの関係が成り立つ時、

Ａ∧Ｂ→真
Ａ∧￢Ｂ→偽
￢Ａ∧Ｂ→偽
￢Ａ∧￢Ｂ→偽

下記の言い方は合ってますか？
１．「ＡとＢには論理積の関係がある」
２．「ＡとＢの論理積は真であり、ＡとＢの否定論理積は偽である」

より適切なものがあれば教えて下さい。

回答No.1

stomachman · ベストアンサー

「Aは真であり、Bも真である」が最も簡潔明瞭でしょう。

　「A,Bが"4つの関係"の最初のやつ（A∧Bが真）を満たす」ということは、「Aは真、Bも真」ということと同じ意味である。これは論理積の定義から明らかです。

　そして、のこり3つの"関係"は「Aは真、Bも真」という前提から直ちに帰結できます。（つまり、これら3つの"関係"は何も言っていないのと同じ。）ということは、これら"4つの関係"は相互に矛盾しておらず、従って、「命題Ａと命題Ｂについて次の４つの関係が成り立つ」ということが実際に生じるようなA,Bの選び方が存在する（すなわち、Aとして真なる命題、Bとして真なる命題を選べば良いわけです。）
　（なんでこんな議論をするかというと、"4つの関係"の内容によっては「"4つの関係"を全部満たすようなA,Bはない」という場合だってありうるからです。たとえば2番目の”関係"をＡ∧￢Ｂ→真に差し替えた場合。）

　以上から、「AとBはどっちも真である」とだけ言っとけば足ります。

お礼

大変にありがとうございます。
補足質問（というか追加質問）をさせて下さい。

●パターン２
命題Ａと命題Ｂについて次の４つの関係が成り立つ時、
Ａ∧Ｂ→偽
Ａ∧￢Ｂ→真
￢Ａ∧Ｂ→真
￢Ａ∧￢Ｂ→偽
下記の言い方は合ってますか？
１．「ＡとＢには排他的論理和の関係がある」
２．「ＡとＢの排他的論理和は真であり、ＡとＢの排他的論理和の否定は偽である」

より端的・適切なものがあれば教えて下さい。
よろしくお願いします。

補足

補足（追加）質問に自分なりの答えが出ました。

パターン２は、
「ＡとＢは片方だけが真」
が一番端的な言い方でしょうか？

回答No.3

stomachman

ANo.2へのコメントについてです。

> 命題Ａと命題Ｂの真偽の組み合わせ４パターンのうち

> 一つが真だと残りは必ず偽になるということは分かりました。

　どうにも奇妙なこのご発言から、質問者氏は命題という言葉や論理演算子の記号を憶えたものの、それらの意味が分かっていないのだとお見受けします。一知半解のままぐるぐる廻りをやってるうちにこんぐらがっちゃったのでしょう。

　いや、はっきり言った方が良いですね。
　質問者氏の論理式の理解は、（正しい理解に似てはいるけど）根本的に間違っているんです。

　このご質問の本質は、「論理学の中にへんてこな部分がある」ということではない。そうではなくて、質問者氏が根本的な誤解をしているために、何かへんてこに感じられることが出てきた、ということなんですよ。言い換えれば、ご自身が誤解しているということの兆候を、ご自身で発見なさったのです。
　しかし、どういう間違いをなさっているかを解明する作業は大変な上に、質問者氏以外の者にとっては全く無価値です。また、仮にそれが分かったとして、どこがどう間違いなのかを説明しても、間違いに陥っている方にはなかなか理解できないだろうと思います。

　ですからこれはね、一度きれいさっぱり忘れてリセットした上で、マトモな教科書を使って、初めから虚心坦懐に勉強なさることをお薦めします。

****************

　しかし、一応説明しておきましょう。
　ANo.2へのコメントで仰る所の「真偽の組み合わせ」というのは、たとえば「Aが偽でBが真」ということ。だから「真偽の組み合わせ」は互いに排他的な4通りです。排他的なのだから、ひとつを選んでそれが真だとすれば残り3つは偽です。
　また、「一つが真だと残りは必ず偽になる」モノと仰っているモノとは、（当初のご質問の文章では）4つの論理式{A ∧ B, ￢A ∧ B, A ∧ ￢B, ￢A ∧ ￢B}ですが、これらはたまたま上記の「真偽の組み合わせ」と同じモノである。（なぜなら、上記の「真偽の組み合わせ」を論理式で書けば、{A ∧ B, ￢A ∧ B, A ∧ ￢B, ￢A ∧ ￢B}である。）
　ですから、「ひとつを選んでそれが真だとすれば残り3つは偽になるようなものは、一つが真だと残りは必ず偽になる。これはなぜだ？」と尋ねているのが、元々のご質問なのです。（もちろん、答は「なぜもナニモ、同じこと（同義反復）じゃん！」です。）

　一方、ANo.2へのコメントにお書きのご質問では、「一つが真なのに残りのパターンに不定がある」モノと仰っているモノは、4つの論理式{A → B, ￢A → B, A → ￢B, ￢A → ￢B}である。（これは「真偽の組み合わせ」{A ∧ B, ￢A ∧ B, A ∧ ￢B, ￢A ∧ ￢B}とは異なるから、元々のご質問とは全く話が違います。）
　この場合、{A → B, ￢A → B, A → ￢B, ￢A → ￢B}のうち、必ず3つが真であり、残りひとつが偽である。（真偽値に「不定」なんてものはありません。）
　{A ∨ B, ￢A ∨ B, A ∨ ￢B, ￢A ∨ ￢B}なら、必ず3つが真であり、残りひとつが偽である。
　{A ≡ B, ￢A ≡ B, A ≡ ￢B, ￢A ≡ ￢B}なら、必ず2つが真であり、残り2つが偽である。

> ・かつ（∧）

> ・ならば（→）

> にこのような違いがあるのは何故でしょうか？

　両者は違うものだからですよ。（同じになるはずだという論拠をもしお持ちなら、その論拠はもっともっと根の深い初歩的な誤解から生じているに違いありません。）

お礼

分かりました。分からないということで閉めることにします。
ありがとうございました

回答No.2

stomachman

ANo.1へのコメントに書かれた追加質問についてです。

これもNo.1で回答した要領をなぞってお考えになればいいんです。そうすれば

命題Ａと命題Ｂについて
Ａ∧Ｂ→偽
Ａ∧￢Ｂ→真
￢Ａ∧Ｂ→真
￢Ａ∧￢Ｂ→偽

が全て成立つということは（どんなA, Bを持ってきても）あり得ない、ということがお分かりになるでしょう。

　ま、やってみましょう。
まず、(Ａ∧￢Ｂ)が真　なのだから、Aが真であり、Bが偽であることが分かります。
ということは、(￢Ａ∧Ｂ)は偽である。
　つまり、(￢Ａ∧Ｂ)と(￢Ａ∧Ｂ)がどっちも真になるということはアリエない。
　なので、「これら"４つの関係"は互いに矛盾している」と言うのが最も簡潔な表現でしょうね。

　ともあれ、連言 Ａ∧Ｂ が何を意味しているかがお分かりになっていないようです。No.1を再読なさって下さいな。

お礼

ありがとうございます。
その後じっくり考えてみたのですがまだ疑問があります。
補足質問をもう一度させて下さい。

命題Ａと命題Ｂの真偽の組み合わせ４パターンのうち
一つが真だと残りは必ず偽になるということは分かりました。

では次の場合にはどうなるのでしょうか？

このサイトの削除ポリシーを例にします。
「違反のある投稿以外は削除しておりません。」

命題Ａ：「その投稿に違反がある。」
命題Ｂ：「その投稿は削除される。」

Ａ→Ｂ　　　「違反があると削除される。」　　←不定
Ａ→￢Ｂ　　「違反があると削除されない。」　←不定
￢Ａ→Ｂ　　「違反がないと削除される。」　　←偽
￢Ａ→￢Ｂ　「違反がないと削除されない。」　←真

一つが真なのに残りのパターンに不定があるのは何故でしょうか？

・かつ（∧）
・ならば（→）
にこのような違いがあるのは何故でしょうか？