boku115さん、こんにちは。
＞命題"a＾2＋b＾2=c＾2ならば、a＾2が3の倍数か、またはb＾2が3の倍数である"が真であることを示すについてわかりません。
＞背理法を使うそうですが、どうして背理法をつかうとわかるのでしょうか？
まず、どうして背理法か？ということですが、もちろん、そのまま求めてもいいのです。
しかし、
a^2+b^2=c^2
になるような、(a,b,c)の組み合わせをすべて求めるのは、簡単ではなさそうです。
そこで、背理法を使って、求めたいことがらの
「a＾2が3の倍数か、またはb＾2が3の倍数である」を否定します。
「a^2は３の倍数ではないし、またb^2も３の倍数ではない」と仮定します。
1)a^2=3m+1,b^2=3n+1のとき、
a^2+b^2=3m+1+3n+1=3(m+n)+2=c^2
ところが、どんな数でも、２乗すれば３で割って１余るんですね。
c=3l+1とするとc^2=(3l+1)^2=9l^2+6l+1=3(3l^2+2l)+1
なので、３で割って１余る。
c=3l+2のときも、c^2=(3l+2)^2=3(3l^2+4l+1)+1
となるので３で割って１余る。
これは、おかしい。
2)a^2=3m+1,b^2=3n+2のとき
a^2+b^2=(3m+1)+(3n+2)=3(m+n+1)
これは３で割って割り切れるから、これもおかしい。
3)a^2=3m+2,b^2=3n+1のとき
4)a^2=3m+2,b^2=3n+2のとき
も同様にやってみてください。おかしいことが分かります。
なので、そもそも
「a^2は３の倍数ではないし、またb^2も３の倍数ではない」と仮定したことがおかしかったので、
「a^2は３の倍数、またはb^2は３の倍数」である、といえます。
だから真です。
補足
わからないところがあるので教えてもらっていいですか？ a＾2を3で割ったあまりは0または1なので a＾2が3の倍数ではないのなら a＾2=3M＋1 (Mは整数） 同様に b＾2=3N＋1 a＾2＋b＾2＝c＾2 に代入すると c＾2=3(M＋N)＋2 となるのですが c＾2を3で割って、2あまることはないという意味がわかりません。 お願いします