命題

質問

問題
命題"a＾2＋b＾2=c＾2ならば、a＾2が3の倍数か、またはb＾2が3の倍数である"が真であることを示すについてわかりません。

背理法を使うそうですが、どうして背理法をつかうとわかるのでしょうか？

そして、どのようにもとめるのでしょうか？

回答No.4

fushigichan · ベストアンサー

boku115さん、こんにちは。

＞命題"a＾2＋b＾2=c＾2ならば、a＾2が3の倍数か、またはb＾2が3の倍数である"が真であることを示すについてわかりません。

＞背理法を使うそうですが、どうして背理法をつかうとわかるのでしょうか？

まず、どうして背理法か？ということですが、もちろん、そのまま求めてもいいのです。
しかし、
a^2+b^2=c^2
になるような、(a,b,c)の組み合わせをすべて求めるのは、簡単ではなさそうです。

そこで、背理法を使って、求めたいことがらの
「a＾2が3の倍数か、またはb＾2が3の倍数である」を否定します。

「a^2は３の倍数ではないし、またb^2も３の倍数ではない」と仮定します。

1)a^2=3m+1,b^2=3n+1のとき、
a^2+b^2=3m+1+3n+1=3(m+n)+2=c^2
ところが、どんな数でも、２乗すれば３で割って１余るんですね。

c=3l+1とするとc^2=(3l+1)^2=9l^2+6l+1=3(3l^2+2l)+1
なので、３で割って１余る。
c=3l+2のときも、c^2=(3l+2)^2=3(3l^2+4l+1)+1
となるので３で割って１余る。
これは、おかしい。

2)a^2=3m+1,b^2=3n+2のとき
a^2+b^2=(3m+1)+(3n+2)=3(m+n+1)
これは３で割って割り切れるから、これもおかしい。

3)a^2=3m+2,b^2=3n+1のとき
4)a^2=3m+2,b^2=3n+2のとき
も同様にやってみてください。おかしいことが分かります。

なので、そもそも
「a^2は３の倍数ではないし、またb^2も３の倍数ではない」と仮定したことがおかしかったので、

「a^2は３の倍数、またはb^2は３の倍数」である、といえます。
だから真です。

補足

わからないところがあるので教えてもらっていいですか？

a＾2を3で割ったあまりは0または1なので
a＾2が3の倍数ではないのなら

a＾2=3M＋1 (Mは整数）
同様に
b＾2=3N＋1

a＾2＋b＾2＝c＾2
に代入すると
c＾2=3(M＋N)＋2

となるのですが

c＾2を3で割って、2あまることはないという意味がわかりません。

お願いします

回答No.5

fushigichan

boku115さん、＃４です。

＞a＾2を3で割ったあまりは0または1なので
a＾2が3の倍数ではないのなら
a＾2=3M＋1 (Mは整数）
同様に
b＾2=3N＋1
a＾2＋b＾2＝c＾2
に代入すると
c＾2=3(M＋N)＋2
となるのですが

そうそう、そうですよ。
a^2もb^2も、３で割り切れないとすると、
a^2+b^2であるc^2は、３で割って２余るはず、なんですね。
これは＃４の回答の上から１３行目の式で書いていますが

1)a^2=3m+1,b^2=3n+1のとき、
a^2+b^2=3m+1+3n+1=3(m+n)+2=c^2

となってc^2は３で割って２余るはずだ、ということです。・・・（★）

＞c＾2を3で割って、2あまることはないという意味がわかりません。

a^2もb^2も３で割って１余る、と仮定したところ、
a^2+b^2=c^2より、（★）のように、c^2は３で割って２余る数のはずである、となります。

ところが、例えば

c=3l + 1としますよね。（cは３で割って１余る数だったとする）
このとき、これを２乗してみてください。
c^2=(3l+1)^2=9l^2+6l+1=3(3l^2+2l)+1
となるので、c^2は３で割って１余る数となります。

c=3l（cが３の倍数のとき）は、c^2=9l^2
となるので、c^2は３で割り切れてしまいます。

c=3l+2のとき（cが３で割って２余る数のとき）は、
c^2=(3l+2)^2=9l^2+12l+4=3(3l^2+4l+1) +1
となって、この場合も、c^2は３で割って１余るんです。

ということは、cがいかなる数字であっても、
c^2は３で割って割り切れるのか、あるいは１余るしかない、ということです。

（★）で出てきたように、c^2は３で割って２余る数になる
という事は、ありえない、ということです。

何故、このような矛盾が生じたのかというと
そもそも最初に

「a^2は３の倍数ではないし、またb^2も３の倍数ではない」と仮定します。

と仮定したこと自体が間違っていたのですね。
よって、

「a＾2が3の倍数か、またはb＾2が3の倍数である」
がいえますので、
命題
"a＾2＋b＾2=c＾2ならば、a＾2が3の倍数か、またはb＾2が3の倍数である"
は真であることが証明されるのです。

回答No.3

wolv

注意：
逆と裏は真偽不明だったと思います。
教科書を確認してください。

仮に命題「AならばB」のA,Bが互いに必要十分の関係だった場合、逆も裏も真になります。

回答No.2

noname#7289

この場合の背理法とは以下の様なことだと思います。

”a＾2＋b＾2=c＾2ならば、a＾2が3の倍数、かつb＾2が3の倍数である”
が偽であることを証明すればいい。
結果的にa,bが３の倍数になればいいから、式にa=3,b=3を入れたとき、
a＾2＋b＾2=3＾2+3＾2=18=4√2
となり、偽であることから命題は真である。

このようなものを確か裏といいます。
関係は

命題（真）→　逆（偽）
　↓　　　　　　↓
　裏（偽）→　対偶（真）

となるはずです。
補足として、逆は
”a＾2＋b＾2=c＾2でないならば、a＾2が3の倍数、またはb＾2が3の倍数である”
対偶は
”a＾2＋b＾2=c＾2でないならば、a＾2が3の倍数、かつb＾2が3の倍数である”

回答No.1

sanori

ご質問に書かれていませんが、ａ，ｂ，ｃは整数という前提なんですよね？
解き方としては
（１）ａ＝３ｍ＋１、ｂ＝３ｎ＋１
（２）ａ＝３ｍ＋２、ｂ＝３ｍ＋２
（３）ａ，ｂの一方が３ｍ＋１、他方が３ｎ＋２
の３通りに場合わけして
いずれの場合も矛盾が生じる、という証明を行えば良いと思うんですが．．．