ピタゴラス数

質問

ピタゴラス数を求める公式(m^2-n^2)^2+(2mn)^2=(m^2+n^2)^2をなぜこのように表すことができるのかという説明をする中で、

「3つの数(a,b,c)のうち2つが同じ約数を持つと、残りの1つの数も同じ約数を持ってしまうので、aとb、bとc、cとaは互いに素でなければならない」

と、あるのですが、この部分がどうもいまいち理解できないんです。

(1)なぜ2つが同じ約数を持つと残りの1つも同じ約数を持ってしまうのか。

(2)同じ約数を持たないためにはなぜ互いに素でなければならないのか。

(3)そもそも互いに素とは一体どういった関係にあることを言うのか。

初歩的なことすぎるためか、調べてみてもこの部分は軽くスルーされているのでもうお手上げ状態です。低レベルな質問かもしれませんが、ぜひ回答お願いします。

回答No.5

proto · ベストアンサー

a^2+b^2=c^2となる(a,b,c)のうちa,bがともにdで割り切れるとする、
　a=d*a'
　b=d*b'
と置くと
　c^2 = a^2+b^2 = (d*a')^2+(d*b')^2 = d^2*(a'^2+b'^2)
このときd^2はc^2の約数であるから、dはcの約数。
結局(a,b,c)は共通の約数dを持つことになる。

同様にして(b,c)が約数を持つ場合、(c,a)が約数を持つ場合についても証明できる。

(a,b,c)のうち二つが約数を持てば、残り一つもその約数で割れる事がわかったので、逆に(a,b,c)が共通な約数を持たない場合は、そのうちのどの二数も共通の約数を持たない場合である。

つまり、(a,b),(b,c),(c,a)もまた1以外の共通の約数を持たない。
これは「互いに素」の定義そのものであるから。(a,b),(b,c),(c,a)は互いに素。

この質問に関して、単に「互いに素」という言葉を知らないが為の疑問に思います。
倍数や約数の説明がしてある本ならば、中学の教科書でも「互いに素」の説明くらいは載っていると思うので復習することをオススメします。

お礼

protoさんのおっしゃる通り「互いに素」を知らなかった為に混乱していたようです。回答ありがとうございました。

回答No.6

Ishiwara

(3) 「互いに素」とは「公約数を持たないこと」です。
(2) は、上記の定義そのものですから、理由を述べる（証明する）必要がありません。
(1)の証明は簡単です。仮にa=（m^2-n^2）=ka'、b=（2mn）=kb'（つまり互いに素でない）とすれば、c=k（a'+b'）となって、cは約数kを持ちます。これを、（a,b）、（b,c）、（c,a）について証明します。

なお、最初の「aとb、bとc、cとaは互いに素でなければならない」を誤解しないように。「互いに素でなくても」特に矛盾は生じませんから、それも立派な解です。ただ「拾い出すときに効率が悪い」というだけの意味です。6^2+8^2=10^2 を見つけても「無駄な努力」と見なしているのです。

お礼

回答ありがとうございました。とてもわかりやすかったです。

回答No.4

age_momo

互いに素であると言うのは最大公約数が1であるということです。
a^2+b^2=c^2
という関係があるa,b,cにおいてa,bの最大公約数をGとすると
a=Ga',b=Gb' （a',b'は互いに素)と表すことができ、

a^2+b^2=(Ga')^2+(Gb')^2=G^2(a'^2+b'^2)=c^2

cにもGという約数があります。その上でaとｃが互いに素、
つまり、最大公約数が1ならG=1ということになり、
aとbの最大公約数が1という結論を得ます。
よってaとbも互いに素であると言えます。

お礼

回答ありがとうございました。とてもわかりやすかったです。

回答No.3

liar_adan

まず(2)(3)の方について解答しますが、整数a、bについて、
「aとbは同じ約数を持たない」＝「aとbは互いに素」
です。言い方が違うだけです。

たとえば、「9と14」は互いに素です。
1以外に、同じ約数がありません。
一方、「9と15」は互いに素ではありません。約数3が共通しています。

次に(1)ですが、ピタゴラス数というのは、直角三角形となる整数の
組み合わせですね。
a~2 + b^2 = c^2
となる数。

このうち、
「aとbに同じ約数があったら、cにも同じ約数がある」
というのはわかりやすいと思います。
aとbに共通する約数はa^2とb^2の約数でもあり、
約数が共通するもの同士を加えても、和はその約数で割り切れます。
なので
「aとbに同じ約数があったら、c^2にも同じ約数がある」
と言えます。

ここで、「c^2に素数の約数(素因数)があったら、cにも素数の約数がある」
ということが言えるのです。
これは別個に証明が必要ですが、素因数分解の性質から証明できる定理です。
これらをまとめて、
「aとbに同じ約数があったら、cにも同じ約数がある」
が証明できます。

「aとcに同じ約数があったら、bにも同じ約数がある」
というのは、ちょっと考えにくいかもしれませんが、
移行して、
a~2 - c^2 = b^2
となりますので、これも上記と同様の証明ができます。
足し算が引き算になっただけです。

お礼

丁寧な説明、回答ありがとうございました。

回答No.2

R_Earl

> ピタゴラス数を求める公式(m^2-n^2)^2+(2mn)^2=(m^2+n^2)^2をなぜこのように表すことができるのかという説明をする中で、
>
> 「3つの数(a,b,c)のうち2つが同じ約数を持つと、残りの1つの数も同じ約数を持ってしまうので、aとb、bとc、cとaは互いに素でなければならない」

aとbとcは何でしょうか？

a = (m^2-n^2)^2
b = (2mn)^2
c = (m^2+n^2)^2

でしょうか？
それとも

a = m^2-n^2
b = 2mn
c = m^2+n^2

でしょうか？

> (3)そもそも互いに素とは一体どういった関係にあることを言うのか。
>
> 初歩的なことすぎるためか、調べてみてもこの部分は軽くスルーされているのでもうお手上げ状態です。

おそらくですが、調べ方が間違っています。

用語の意味が分からなければ理解できないのは当然です。
英文法が分かっていても英単語が分からなければ、英文を読むことはできませんよね。
真っ先に調べるべきなのは、「分からない用語の意味」です。

検索エンジンで調べれば、「互いに素」の意味は分かるはずです。
「互いに素」の意味が分かれば、(1)も(2)も自力で解決できると思います。

お礼

「互いに素」で調べたのですが、その意味について書かれているページを見つけることが出来なかったのでここで質問させていただきました。
回答ありがとうございました。

回答No.1

noname#77845

(3)について、「互いに素」とは2つの整数が1と-1以外に共通の約数を持たない関係にあることをいいます。
なので、(2)は当然でしょう。

お礼

回答ありがとうございました。