ピタゴラス数となる組み合わせは無限個ある？

質問

いわゆる「ピタゴラス数」となる3つの整数の組み合せが無限にあることは証明できますか？
自分なりに考えてみて、「2N+1」の平方根が整数となる

√2N+1, N, N+1

の組み合わせを考えればよいらしいことはわかり、素人目の直感ではこれで問題なさそうなのですが、この3つの数が1以外の公約数を持たない（「互いに素である」という表現でよいのかな？）ことをどう証明するのかがわかりません。
また、上記以外の組み合せ（例えば、N = 8 のときの、√4N+4, N, N+2、N = 12 のときの、√6N+9, N, N+3 など）を検討してみたところ、どれも1以外の公約数を持つ（＝他のピタゴラス数と同比率に約分できる）ようなのですが、これも証明できるでしょうか？

# 中学生レベルかもしれませんが。

回答No.1

nakaizu · ベストアンサー

まず、あなたの方法でピタゴラス数が無限にあることは証明できます。中学生でここまで分かれば立派です。
ただし、√(2N+1),N,N+1のパターン以外のピタゴラス数はいっぱいあります。たとえば、8,15,17などです。
NとN+1の公約数は1だけだということも簡単に示せます。
一般にaとbの公約数がcの場合にはa=mc,b=ncとなるm,nがありますからa-b=mc-nc=(m-n)cとなりcはa-bの約数になります。つまり、NとN+1の公約数は(N+1)-N=1の約数でないといけないので1だけです。

一般的なピタゴラス数を求めてみましょう。数式だけでも可能なのですが、図形を利用してみましょう。

半径aの円(中心をAとする)と半径bの円(中心をBとする)が外接しているとします。AB間の距離はa+bです。便宜的にa>bとします。
両方の円に接する接線を引きます。二つの接点間の距離をcとします。
Bを通って接線に平行な線を引きます。その線とAから接点に引いた半径との交点をDとします。三角形ABDは直角三角形になり、辺の長さはa+b(斜辺),a-b,cです。
ピタゴラス(三平方)の定理からc^2=(a+b)^2-(a-b)^2=4ab
となります。(^2は二乗を意味します)
もしaとbが平方数ならcは整数になります。
つまり整数m<nを勝手に決めてa=n^2,b=m^2,c=2nmとするとa-b,a+b,cはピタゴラス数になります。ただし、公約数が1でないこともあります。(nとmにもう少し条件を加えると公約数1のピタゴラス数だけにすることもできます)
この方法では他にもピタゴラス数があるかどうかわかりませんが、数式を使った証明では全ての互いに素なピタゴラス数はこの方法で表現できることが分かっています。
文章では理解しづらいかもしれませんが、図に書いて理解してください。

お礼

コメントありがとうございます。

> 中学生でここまで分かれば立派です。

お褒めにあずかり、光栄です。(*^-^*)
(実際、中学ぐらいまでは数学は得意な方だったのですが・・・)

> 、√(2N+1)

なるほど、括弧を付けた方が誤解（括弧がないと、1+√2Nとも解釈でき得る）の余地がないですね。

> NとN+1の公約数は1だけ
2つの要素だけに着目すれば自明でしたね。（小学生レベル？）
3つめ（以降）の要素がどんな値を取ろうと関係がないということで。
「部分」に着目し、要素を細分化して考えれば、複雑な問題でも単純化できる・・・と。（数学に限ったことではありませんが）

> 数式だけでも可能なのですが、図形を利用してみましょう。

幾何学的なアプローチもある、ということですね。
・・・というより、歴史的に見れば、三平方の定理の発見の方が先で、ピタゴラス数は後から付いてきたものでしょうから、当然ですか。

# 紙と鉛筆だけでは証明できないので、今回はパスします。(笑)

回答No.2

graphaffine

nanashinogombeiさん、こんにちは。

・√2N+1, N, N+1が互いに素である事

N, N+1で既に互いに素であるから。実際、
これらが公約数を持てば差もまた公約数で
割り切れねばならない。

通常のピタゴラス数が無限個ある事の証明はほとんどの
初等整数論の本に載っていると思います。
結論だけ書くと次の通りです。

自然数Ａ，Ｂ，Ｃがピタゴラス数を成す（Ａ＾２＋Ｂ＾２＝ｃ＾２）ための必要十分条件は自然数ａ，ｂ，ｃを適当に取るとき、次の形に書ける事。
Ａ＝２ａｂ，Ｂ＝ａ＾２－ｂ＾２，Ｃ＝ａ＾２＋ｂ＾２

お礼

コメントありがとうございます。

> N, N+1で既に互いに素であるから。

No.1さんへのお礼に書いた通りです。
というか、何でこんな簡単なことがわからないのか！というところです。(笑)

> 通常のピタゴラス数が無限個ある事の証明はほとんどの
> 初等整数論の本に載っていると思います。
> 結論だけ書くと次の通りです。

> 自然数Ａ，Ｂ，Ｃがピタゴラス数を成す（Ａ＾２＋Ｂ＾２＝ｃ＾２）ための必要十分条件は自然数ａ，ｂ，ｃを適当に取るとき、次の形に書ける事。
> Ａ＝２ａｂ，Ｂ＝ａ＾２－ｂ＾２，Ｃ＝ａ＾２＋ｂ＾２

ありがとうございます。
残念ながら、証明の数学的「手続き」は即座には浮かびませんが、この組み合わせが無限にあることは、直感的には容易に理解できます。