高３数学の問題が解けません。非常に困っています。

質問

(1)108の正の約数の個数を求めなさい。

(2)a,b,c,dを自然数とし、a≧cとする。m=2a3b（実際の表記は2の右上に小さなa、3の右上に小さなbです）,　n=2c3d（左記に同じ）について、m,nの正の約数の個数がそれぞれ80,72で、mとnの正の公約数の個数が45であるという。このときa,b,c,dを求めなさい。

よろしくお願いいたします<(_ _)>

回答No.2

alice_44 · ベストアンサー

(1)
娘が小学４年生ですが、つい先日、これとよく似た問題を質問されました。
108 = (2^2)(3^3) より、約数の個数は (2+1)(3+1) です。
(2^2)(3^3) の約数は (2^a)(3^b) a=0,1,2 b=0,1,2,3 だからです。

(2)
上記と同様に考えて、(a+1)(b+1)=80, (c+1)(d+1)=72。
また、m と n の最大公約数が (2^min{a,c})(3^min{b,d}) であることから、
正の公約数の個数は (c+1)(min{b,d}+1)=45 です。
さて、ここから a,b,c,d が求まりますかね？
b と d の大小関係が不明なのが、やや面倒です。

c+1 は 72 と 45 の公約数なので、候補は 3,9 (c が自然数なので 1 は無し)。
c+1=3 の場合は、(c+1)(d+1)=72 より d=23、
(c+1)(min{b,d}+1)=45 より min{b,d}=14 となるので、b=14。
よって (a+1)(b+1)=80 を満たす a+1 は無く、不適です。
c+1=9 の場合は、(c+1)(d+1)=72 より d=7、
(c+1)(min{b,d}+1)=45 より min{b,d}=4 となるので、b=4。
よって (a+1)(b+1)=80 より a=15。こちらは解があります。

結局、(a,b,c,d)=(15,4,8,7) です。(2)は高校生の問題でもよいでしょう。

お礼

早速の回答ありがとうございます。確かに(1)は簡単な質問でしたね。
回答がわかりやすかったので、ベストアンサーにさせていただきます。
本当に助かりました！！

回答No.3

B-juggler

お邪魔します。

ん？ってやはり思います。

（１）は、（２）を解かせるためのヒント？

それでもなんかひねりが足りない？？？？？

ｍ＝（２＾ａ）×（３＾ｂ）　こうなんだ。　＃累乗なんだ・・・。

　＃なんだろうと思っちゃった＾＾；

Ａｌｉｃｅ先生かいてあるとおり、ｂ、ｄ　の大小関係あるから、

場合わけがいるだけで、まぁちょっと不親切かもしれないけど、

一応こんなもんじゃない？

高校三年というより、素因数の話しだから、高校の数学ってだけかもね。

　＃やっているはずだよ。

Ａｌｉｃｅ先生書いてあるから、簡単にしか行かないけれど、

ｍの約数の数（正の）は、　２の累乗のほうで　０，１，２，・・・・、ａ個ある。

３の累乗のほうで　０，１，２、・・・・・、ｂ　個ある。

つまり、　約数の数（正の）　＝　（ａ＋１）×（ｂ＋１）

これさえ分かればこの問題はダイジョウブだよ。

(=^. .^=)　ｍ（＿　＿）ｍ　(=^. .^=)

　はじめて問題としてみたら、知っているんだけど、気がつかないタイプの

問題だと思います。　（こういう引っ掛けは良くあるかも？この頃特に・・・）

お礼

早速のご回答ありがとうございます！！参考にさせていただきます。

回答No.1

riteway

とりあえず、中学数学の教科書か難関私立中学入試のための書籍を勉強しましょう。
こんなことを高3でやるわけがありません。