ピタゴラス数にからんだ整数問題

質問

以下の問題を一応証明したのですが、論述に自信がありません。入試の採点でつっこまれそうなか所を指摘して欲しいです。（京大志望です）

自然数 a，b，c について，等式 a^2+b^2=c^2 が成り立ち，かつ a，b は互いに素とする。このとき，次のことを証明せよ。
(1) a が奇数ならば，b は偶数であり，したがって c は奇数である。
(2) a が奇数のとき，a+c=2d^2 となる自然数 d が存在する。

(1)
　a,bをともに奇数とすると
　i,jを任意の自然数として
　　a=2i-1
　　b=2j-1
とおける。
　すると、
　　a^2+b^2=(2i-1)^2+(2j-1)^2
　　　　　 =4(i^2+j^2)+4(i-j)+2=c^2
　よってcが奇数であるときc^2も奇数となるからcは偶数。
　よって
　　c=2k
とおく。
　すると、
　　0=a^2+b^2-c^2
　　 =4(i^2+j^2-k^2)+4(i-j)+2≡2(mod.4)
となって不合理。
　よってa,bがともに奇数とはなり得ない。
　よってaが奇数ならばbは偶数以外ありえない。

(2)
　m,n（m＜n）を自然数として
　　a=n^2-m^2
　　c=n^2+m^2
とおく。
　（a,cはともに奇数よりn,mのうち一方は偶数で一方は奇数）
　以下題意をみたす任意のa,cがこのようにあらわせることを示す。
　上の式をn^2,m^2について解くと
　　n^2=(c+a)/2
　　m^2=(c-a)/2
となる。
　よって
　　n^2m^2=(c^2-a^2)/4=b^2/4
　よって
　　b=2mn
となる。
　これはbが偶数であるという(1)に矛盾しない。
　よって上のようにa,b,cを表現することに不合理はない。（ただしm,nは互いに素とする。でないとa,b,cが互いに素であるという仮定に反する）
　またこれより題意をみたすとき
　　a+c=2n^2
　よって題意は示された。

(2)のa,cがm,nであのように表現できるという証明で、とりあえず矛盾はなさそうだからＯＫと言うような論法になってしまっている気がするのですが…
どうでしょうか？

回答No.14

eatern27 · ベストアンサー

私も、因数は１を含まない、というイメージがあったのですが、（素因数分解といったら、１を書きませんし）その辺りに自信がなかったので、ネット上で検索してみたんです。そうしたら、
http://ja.wikipedia.org/wiki/約数
が見つかって、これを読んだ感じでは、因数は１も含む、という解釈しかできなかった（どう見ても、約数＝因数という書き方ですよね？）ので、そうだったのか～、と思ってあのように書きました。一般に、因数といったら、１を含まないのなら、あのままでかまいません。

＞p,qが３以上の素数では割り切れない
基本は背理法です。

pが３以上の素数rで割り切れたとします。
pqは平方数で、pは１以外の平方数では割り切れないので、qがrで割り切れる事になります。
すると、c-a=pm^2,c+a=qn^2はともにrの倍数となる事から、2a=(c+a)-(c-a)はrの倍数になります。
rは3以上の素数であったから、aがrの倍数となります。(←"３以上の素数"のように２を除外したのは、この部分で2aがrの倍数としか言えないためです。）
さらに、※b^2=(c-a)(c+a)はr^2の倍数であるから、bはrの倍数。
よって、rはa,bの公約数。rは３以上の素数であったから、a,bが互いに素であることに矛盾。
よって、pは３以上の素数で割り切れない。qについても同様。

という感じです。
なお、※の部分は、a,cが互いに素である事を既知とするならば、2c=(c+a)+(c-a)がrの倍数よりcがrの倍数、というのに置き換えても問題ありません。

参考URL：

http://ja.wikipedia.org/wiki/約数

お礼

１も因数と言えるんですね。はじめて知りました。

長々と回答していただいて本当にありがとうございました。

回答No.15

nakaizu

多少まどろっこしいですが、No.12のお礼の回答で大丈夫です。
因子とか因数という言葉は習慣的に使っていますが、
教科書等ではっきり定義してある言葉ではないので、
使い方がけっこう曖昧です。
「１以外の約数」と言った方が誤解を生まない分だけ良いでしょう。

お礼

＞「１以外の約数」と言った方が誤解を生まない分だけ良いでしょう。

そうですね。
何度も回答していただき、ありがとうございました。

回答No.13

eatern27

#8+#12です。
#12のお礼についてです。

自信はないのですが、１(＝平方数)というのは、任意の自然数ｎの因数ではないのでしょうか？そうだとすれば、
＞　ただしp,qが平方数を因数に持つとすると、m^2,n^2が最大の平方数という仮定に反するからp,qは平方数を因数に持つことはない。
の部分は「ただしp,qが1以外の平方数を因数に持つとすると、…」などのようにするべきでしょう。
これ以外は、問題ないと思います。

ちなみに、#8への補足で間違っていたのは、m=r*sと表せたとした場合に、例えば、「a+c=r*奇数^2、c-a=r*s^2*奇数^2」みたいなパターンは
＞　　c-a=mp^2,c+a=mq^2
とは表せませんよね。

参考程度ですが、いろんな解き方を知っておくことも、いい勉強になりますから、私なりの解き方(の方針)を書いておきますね。
・p,qが1以外の平方数で割り切れない事を示す
・pqが平方数である事を書く。(ここまでは#12の補足と同じです)
・p,qが3以上の素数で割り切れないことを示す。
・p,qは1または2であることを示す。
・p=qである事を示す
・p=q=1でない事を示す。
∴p=q=2
d=nとすれば、a+c=2d^2

お礼

回答ありがとうございました。

補足

＞自信はないのですが、１(＝平方数)というのは、任意の自然数ｎの因数ではないのでしょうか？

因数というのは１以外の約数のことだと理解していたのですが…

それと参考のところで、p,qが３以上の素数では割り切れないことはどうやって示すんでしょうか？

回答No.12

eatern27

#8です。#8への補足を見たのですが、

そんな事よりも、重大な欠陥を発見しました(もっと早く気がつくべきでした)。#6さんへの補足の最後の部分です。

＞　　a=i(q^2-p^2)
＞　　c=i(q^2+p^2)
p,qは奇数ですから、a,cは偶数って事になります。

でも、a,cは奇数でしたよね？？

さて、どこで、証明があらぬ方向へ進んだのでしょうか？
ヒントは#8への補足の中に間違いがある、という事だけにします。
"誤った証明"のどの部分が間違いであるか、というのを探すのも、たまにはいいと思います。こういう種類の問題を扱った問題集は少ないですしね。(少なくとも私は、大学受験の時には１冊しか見かけなかった気がします)
是非、何処で間違っているか、自分で探してみてください。間違いが見つからなければ、補足してください。

お礼

c-a,c+aの因数（または１）のうち最大の平方数をそれぞれm^2,n^2とすると、
　　c-a=pm^2
　　c+a=qn^2
とおける。
　ただしp,qが平方数を因数に持つとすると、m^2,n^2が最大の平方数という仮定に反するからp,qは平方数を因数に持つことはない。
　またこのとき
　　b^2=pq(mn)^2
となる。
　b^2,(mn)^2はともに平方数よりpqも平方数。
　よってpq=k^2とおける。
　ところでp,qを素因数分解したときそれぞれ
　　p=p1p2…pi
　　q=q1q2…qj
となるとする。
　ただしp,qは平方数を因数に持たないからp1,p2…piはすべて異なるし、q1,q2…qjもすべて異なる。
　よってpq=k^2より
　　k^2=p1p2…piq1q2…qj
となる。
　もしq1,q2,…,qjの中にp1に等しいものがないとすると、p2,p3,…,piのなかにはp1と等しいものは存在しないからk^2が平方数であることに反する。
　つまりp1と等しい数がq1,q2,…,qjの中に存在する。
　またq1,q2…qjはすべて異なるからp1と等しい数が２つ以上存在することもありえない。
　よってq1,q2…qjの中にはp1と等しい数がただ１つ存在する。
　同様に考えればq1,q2…qjの中にはp2と等しいもの、p3と等しいもの、…piと等しいものがただ１つずつ存在する。
　また同様に考えてp1,p2…piの中にはq1,q2,…,qjと等しいものがただ１つずつ存在する。
　よってp1,p2…piの組み合わせを並べ換えるとq1,q2,…,qjの組み合わせとなる。
　よって
　　p=p1p2…pi=q1q2…qj=q
となる。
　よって
　　c-a=pm^2
　　c+a=pn^2
とおける。
　あとは今まで同様の方針で…

補足

mが平方数になっているんですね？

回答No.11

nakaizu

かなりごまかしていますね。
「そこでb=mpqとおける。（m,p,qは自然数。mは偶数。p,qは奇数）
　c,aはともに奇数よりc-aとc+aはともに偶数。
　よってc-aとc+aは等しくないから
　　c-a=mp^2
　　c+a=mq^2
という組み合わせ以外ありえない。」
の部分は間違っています。
m,p,qは一意に決まらないのでc-aなどが何通りもあることになってしまいます。
たとえばb=30のときにはm=2,p=3,q=5かもしれないし、
m=2,p=15,q=1かもしれないし、それ以外かもしれません。
本質的には理解されていると感じられますので、あとは書き方だろうと思います。
No８の方のアドバイスを参考にして、論理的な証明にしていってください。

お礼

Ｎｏ８の方の補足のところに解答を書いておきました。
これでどうでしょう？

回答No.10

tiezo-

（２）の証明が少し強引な気がします
aとbが互いに素なことより導くほうが良いと思います
No8の方と同じですが
a,cは整数よりa+c=x ,c-a=y ただしx*y=b^2とすると
x=2*n^2の形になることが示せます
互いに素がポイントだと思います
あまり自信はありませんが

お礼

回答ありがとうございました。

回答No.9

Rossana

ANo.2はよく考えるとおかしいですね．例えば，i=2, j=4で互いに素でなくても
a=3, b=7でa, bは互いに素になっています．
『
　　a=2i-1
　　b=2j-1
とおける．（ただし，i，jはa, bが互いに素となるように選ばれる自然数．）
』
に訂正お願いします．

回答No.8

eatern27

大学受験の時、普通に合同式を使っていた人間です。なので、個人的には、合同式を使うことに問題ないと思うのですが...
特に、京大の理系レベルなら、多数の受験生が合同式程度の知識はあるでしょうし。(でも、nablaさんが理系と思ってよいのかどうか…。文系の方ではどういう扱いなのか、分かりません。)

さて、#6さんへの補足についてです。
＞　aとcが互いに素でない。
の証明の部分は、答案の流れとしては、首をかしげる部分がありますが、証明としては問題ないと思います。

＞そこでb=mpqとおける。
以降の部分はイマイチだと思います。

例えば、
＞という組み合わせ以外ありえない。
とありますが、「a-c,a+cが等しくなく、共に偶数」という根拠だけでa-c=mp,a+c=mpq^2という組み合わせなどが排除できるのでしょうか？

ご質問に書いてある(2)の解き方、#6さんへの補足の後半部分を見て思ったことですが、
(a,b,c)=(n^2-m^2,2mn,n^2+m^2)と書ける、という事にとらわれすぎているいるように思います。なので,この問題を解く際にはこの事は忘れた方がいいと思います。

参考になるかは分かりませんが、私なら、
a+c,c-aを割り切る最大の平方数(最低限1^2で割り切れるので、このような"最大"の平方数は存在します)をM^2,N^2としたら、自然数α、βを使って
a+c=αM^2,c-a=βN^2
と表せますので、ここからα＝２である事を証明します。(ついでに、β＝2である事も証明できますね)

補足

＞例えば、
＞＞という組み合わせ以外ありえない。
＞とありますが、「a-c,a+cが等しくなく、共に偶数」＞という根拠だけでa-c=mp,a+c=mpq^2という組み合わ＞せなどが排除できるのでしょうか？

　ここはもう少しちゃんと書くべきだったかもしれません。

　　(c-a)(c+a)=(mpq)^2
　より組み合わせとしては
　　c-a=mp^2,c+a=mq^2
　　c-a=mp,c+a=mpq^2
　　c-a=m,c+a=mp^2q^2
が考えられる。
　ただしはじめの場合はc+a＞c-aよりq＞p
　ところが２番目の場合においてmp=m'p'=1とおくと、m'は偶数であり、p'は奇数であるから結局１番目の場合と同じ。
　また３番目の場合でもp'=1,pq=q'とおけばp'、q'はともに奇数となり、やはりはじめの場合と同じ。
　よって結局
　　c-a=mp^2,c+a=mq^2
の場合のみを考えればいい。

　こんなもんでいいでしょうか

回答No.7

ryn

補足に対する回答ですが…

> やっぱ合同式は使わない方が無難でしょうか？
> 京大は何でもありだと聞いているのですが…
私は入試本番では行列や一次変換(今はないのかな？)で
普通に線型代数の知識を使った解答を書いてました．

ただし，受験前に独学で大学範囲の勉強をしていると
どこまでを自明とするかの感覚がずれているかもしれないので
その辺はご注意を．

個人的には論理に矛盾がないなら
減点対象にはならないと思いますが，
保障はありません．

お礼

回答ありがとうございました。

回答No.6

nakaizu

(1)については、細かいところを除けば証明できています。細かいところとは、No３の方がご指摘の計算ミスと、i,jはa,bから決まるので「任意」ではないという点です。
合同式を使うのが減点になるかは採点者次第ですが、
証明が正しいかどうかとは別問題です。
証明としては正しいので、へそ曲がりの人以外は減点しないと思います。（責任はもてません）

（２）は証明になっていません。
よく勉強なさっているのでこのような回答になると思いますが、証明は結論から始めてはいけません。

a+c=2d^2,c-a=2e^2となる自然数d,eが存在するので、
a=d^2-e^2,c=d^2+e^2
となる。と証明は進んでいくはずなので、逆方向なのです。

1=-1の両辺を二乗すると
1=1
となります。つまり、矛盾しない結論が出てきても、元が間違っていることはよくあることなのです。

（２）については最初から考え直したほうがよいと思います。

お礼

回答ありがとうございました。
やっぱり結論からはじめるのはダメなんですね。
補足のところにもう一度(2)の証明を書いたので見てもらえますか？

補足

aとcが互いに素でない。
　すなわちkを１でない自然数として
　　a=kx
　　c=ky
とかけるとする。（ただしxとyは互いに素）
　このとき
　　b^2=k^2(y^2-x^2)
となり、bはkの倍数。
　これはaとbが互いに素であるという仮定に反する。
　よってaとcは互いに素である。
　また与式は
　(c-a)(c+a)=b^2
と変形できる
　ところでaは奇数であるためbは偶数
　そこでb=mpqとおける。（m,p,qは自然数。mは偶数。p,qは奇数）
　c,aはともに奇数よりc-aとc+aはともに偶数。
　よってc-aとc+aは等しくないから
　　c-a=mp^2
　　c+a=mq^2
という組み合わせ以外ありえない。
　ここでm=2iとおくと
　　a=i(q^2-p^2)
　　c=i(q^2+p^2)
となる。
　aとcは互いに素であるという条件からi=1
　よってa+c=2q^2となり題意は示された。

回答No.5

turkey-yekrut

4(i^2+j^2-k^2)+4(i-j)+2≡2(mod.4)
って、大学入試で使えるんですか…？
4を法とする合同（4でわると2あまる）ってことですよね？

(2)については、ほかの回答者の方と同じ意見です。
aとcのおきかたの証明が不十分な気がします。
bが偶数であることに矛盾しないというだけでは、
任意のa、cがそのように表せると示したことにはならないと思います。

お礼

合同式を使ったことでこんなに指摘があるとは思いませんでした。
使った方がすっきりと回答できるので整数問題ではよく使うのですが…
ありがとうございました。
やっぱり(2)の証明は証明になってないですね。