ピタゴラス数と整数論

質問

ピタゴラス数　x=m^2-n^2、y=2mn、r=m^2+n^2は
もちろん必要十分と思いますが
必要条件がしりたいのです
要するに　どうやってこの式が出てきたのか　です
当方は整数論の知識は皆無です

整数論の知識なしでも理解できれば嬉しいのですが
整数論の知識が必要でも’’はしり’’だけでも教えてください

中学生の頃初めて知って、それ以来何度も出会いますが
証明は見た事がありません

ＮＥＴで調べたら深入りしそうで検索した事はありません
x=(1-t^2)/(1+t^2),　y=2t/(1+t^2)と酷似しているのが
魅力です
よろしくお願いします

回答No.1

tatsumi01 · ベストアンサー

> もちろん必要十分と思いますが
> 必要条件がしりたいのです
必要十分条件だったら、当然必要条件です。

> ＮＥＴで調べたら深入りしそうで検索した事はありません
> x=(1-t^2)/(1+t^2),　y=2t/(1+t^2)と酷似しているのが
円の方程式
x^2 + y^2 = 1
を考えます。そして、この円が x軸と交わる点 (-1, 0) から傾き t (t は有理数) の直線を引きます。この直線と円周との交点が
x=(1-t^2)/(1+t^2),　y=2t/(1+t^2)
となることは計算すれば出るでしょう。そして、この (x, y) は有理数です。有理数ですから既約整数の比 q/p と表せ、t に q/p を代入すると、
x^2 + y^2 = 1
を満足する有理数の組が得られます。両辺の分母を払えば
x=m^2-n^2、y=2mn、r=m^2+n^2
の形の関係が得られると思います（計算していません。確かめて下さい）。

逆に、方程式
x^2 + y^2 = 1
を満たす有理数の解は
x=(1-t^2)/(1+t^2),　y=2t/(1+t^2)
の形に必ずなります。なぜなら、単位円の上にあって有理数であるような (x, y) があったとすれば、この点と (-1, 0) を結ぶ直線が決まり、その傾きは有理数です。その傾きを t と表せば上記の形になります。

お礼

早々にRESありがとうございます
あとは私が　今から解読するだけです　感謝感謝
ついで　といってはなんですが　三辺が整数の三角形で　たとえば
あるひとつの角が６０度とか３０度とかになるものの一般解はあるのでしょうか
おんぶに　だっこで　すみません
解読できたら　なんとか欄で連絡します

補足

>両辺の分母を払えば
でひっかかりましたが
((p^2-q^2)/(p^2+q^2))^2+((2pq)/(p^2+q^2))^2=1 より
((p^2-q^2))^2+((2pq))^2=((p^2+q^2))^2　という意味だったんですね
吟味は必要かもしれませんが、私にはこれで十分です
長年の課題が解決しました
自分で何とかという気持ちはあったのですが、私の思いつける論法
ではありません。有難う御座いました。
これで締め切りにして良いのですが、先程書いた別問の情報が
tatsumi01様から、あるかもという強欲さで、しばらく締め切りを
遅らせます。　　頓首頓首