ピタゴラス数について

質問

ピタゴラス数について

a,b,cはa^2+b^2=c^2を満たす自然数とする。
(1) a,bのうち一方が素数のとき,もう一方は4の倍数であることを示せ。
(2) a,bのうち一方が5以上の素数のとき,もう一方は12の倍数であることを示せ。
(3) (2)を満たす自然数の組(a,b,c)は無数に存在することを示せ。

(1),(2)は解けました。
(1) a,bのどちらも4の倍数でないとすると,a^2,b^2を4で割った余りは0または1となる。したがって,a^2+b^2を4で割った余りは0または1または2となる。それぞれの場合を考えると矛盾が起こるため,背理法より少なくとも一方は4の倍数。aが素数だとすると,bが4の倍数となる。
(2) (1)と同様の考えで,少なくとも一方は3の倍数だとわかる。aが素数だとすると,a=2,3のときはbは12の倍数にならず,a≧5のときは(1)よりbは3の倍数かつ4の倍数,すなわち12の倍数となる。

しかし,(3)がわかりません。「無数に存在する」というのは,(2)を満たす(a,b,c)が何らかの漸化式を満たしていくのでしょうか？(初項=(5,12,13)みたいな)

どなたか教えてください。

回答No.2

nag0720 · ベストアンサー

一番簡単なのは、c=b+1のパターンですね。

a^2+b^2=(b+1)^2
a^2=2b+1
b=(a^2-1)/2

aが５以上の素数なら、bは整数なので、
(a,(a^2-1)/2,(a^2+1)/2)
はピタゴラス数です。

素数は無数にあるので、(2)を満たす組も無数にあります。

お礼

ご回答ありがとうございました。
この方法ならc=b+m(mは自然数)で他にも作れそうですね。

回答No.1

koko_u_u

＞を満たす(a,b,c)が何らか の漸化式を満たしていくのでしょうか？

いいえ。そのような強い結論を求められているわけではありません。

お礼

ご回答ありがとうございました。