微分の定義

質問

塾の先生が「東大の教授が東大生に微分とは何か知っているか質問したところ、『あー知ってますよ。次数を前に持っていくやつですよね？』と答えたという笑い話がある」と仰っていたのですが、本来はどのように答えるべきだったのでしょうか？

先生は「平均変化率の極限の値」というようなことを仰っていた気がするのですが、正確に聞き取れませんでした。

回答よろしくお願いします。

ちなみに文系なので高校数学の数学２までの知識しか持っていません。

回答No.1

sanori · ベストアンサー

こちらをご覧ください。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BE%AE%E5%88%86

『次数を前に持っていくやつですよね？』
が、どのように間違っているかというと、
上記リンクの中の真ん中辺にある「初等関数に関する公式」という項を見てください。
「次数を前に持っていくやつ」という微分は、最初の１つの公式だけ、すなわち
（ｘ^a）’＝　ａｘ^(a-1)
だけなんです。
他の関数の微分は「次数を前に持っていく」わけではないので、笑い話になったということです。

「平均変化率の極限の値」で合ってますよ。
私なりに答えるとすれば、
「（グラフ上の）１点における変化率を求めるために、分母の大きさと分子の大きさの双方を限りなくゼロに近づけること」
です。
これについても、上記リンクの中の上のほうにある「微分係数」という項を見てみてください。

お礼

回答ありがとうございます。

三角関数の微分などもあるのですね。
勉強になりました！

回答No.3

hermite

微分というのは、
f'(x)=lim(h→0){(f(x+h)-f(x))/h}
のようにして定義されます。(f(x+h)-f(x))/hは、２点(x,f(x))、(x+h,f(x+h))間の平均変化率ですね。limがあるのでその極限となります。

数学的な意味合いは、(x,f(x))から微小な距離だけ離れた点(x+h,f(x+h))までの平均変化率です。簡単に言えば関数fの点(x,f(x))における接線の傾きです。

物理で用いるなら、ある量が微小時間にどの程度の変化をするかを表します。

例えば、位置の微分は速度ですね（位置が微小時間にどのように変化するか＝速度）。あるいは、速度の微分は加速度ですね（速度が微小時間にどのように変化するか＝加速度）。

お礼

回答ありがとうございます。

物理まで話を広げていただけて勉強になりました。

回答No.2

ojisan7

教科書に書いてある通りでよいと思います。
「平均変化率の極限の値」でよいと思います。
がんばってください。

お礼

回答ありがとうございます。

微分を理解していない友人がいるので「平均変化率の極限の値」と教えてあげることにします。
がんばります。