微分がわかりません。

質問

この頃微分を勉強しはじめた者です。

ある関数において、ある任意の座標x＝aの点を取り、aを増加させた点をa＋hと置く。

この時
f（a+h）－f（a）/hの式は平均変化率は表すことはわかりました。
＿＿＿＿＿
hの値を限りなく0に近づけていくと、aとa+hの幅がどんどん狭まって行き、ついには
f（a+h）－f（a）/hの式は　微分係数を表す式になる。
（実際にはf'（a）とlimの表記がいりますが・・・）

これもわかります。
＿＿＿
わからないのはここからです。

実際に微分の計算をする時
最終的にhに0を代入しますよね？

このことが疑問なんです。
実際にhは0に限りなく近い数字なんですよね？

なのになぜ0を代入するんですか？

回答No.3

arrysthmia · ベストアンサー

本来は、h=0 を代入するのではなく、
あくまで、h→0 の極限を求めるのです。
h=0 で替えられるのは、
｛ f(a+h) - f(a) ｝/ h が、h の関数として
h=0 で連続な場合だけです。
要するに、lim[h→0] q(h) = q(0) だから、
よって lim[h→0] q(h) = q(0) だ
と言っているだけで、単なる同語反復なのですが、
高校の範囲では、｛ f(a+h) - f(a) ｝/ h を
具体的に h の式で書いた瞬間に、
h=0 で連続であることが直感的に明らかな例
しか扱わないので、それで済んでいるのです。

お礼

有難うございました。

回答No.2

rnakamra

>実際に微分の計算をする時
>最終的にhに0を代入しますよね？

これが許されるのは{f(a+h)-f(a)}/h　を計算して分母のhが約分されて消えるときだけです。
この場合に約分した式がh=0で連続であるならばh=0を代入したものがh→0の極限と等しいとしてかまいません。

ではf(x)がx=aで微分可能な場合でこの式が約分できない場合があるのか、というと一応あります。
(その場合でも、分子をテーラー展開した式を用いると必ず約分できます。高校の範囲は逸脱しますが。)

その例として、sin(x)のx=aでの微分係数の導出があります。

{sin(x)}'|_(x=a)=lim[h→0]{sin(a+h)-sin(a)}/h
=lim[h→0]{2*cos((2a+h)/2)*sin(h/2)}/h
={lim[h→0]{cos((2a+h)/2)}*{lim[h→0]{sin(h/2)/(h/2)}

ここで左側の極限はh=0で連続ですのでh=0を代入してcos(2a/2)=cos(a)
右側の極限はh=0で連続ではありませんが、lim[x→0}{sin(x)/x}=1からこの極限は"1"
この二つをかけてcos(a)*1=cos(a)
となります。

上記の右側の極限に出たようにh=0を代入できない場合もあります。
(ほかにも高校の範囲ではe^xやlog(x)の微分の場合にも現れます。)

お礼

有難うございました。

回答No.1

info22

>実際に微分の計算をする時
>最終的にhに0を代入しますよね？
>
>このことが疑問なんです。
>実際にhは0に限りなく近い数字なんですよね？

微分係数の定義には、x=aにおいて微分係数f'(a)が存在する前提条件として
f(x)がx=aにおいて連続であることです。

つまり,f(a)が存在し、かつ
lim[h→0]f(a+h)＝f(a)　、lim[h→0]f(a-h)＝f(a)
であることが前提条件となっているから

lim[h→0]f(a+h)＝f(a+0)＝f(a)　、lim[h→0]f(a-h)＝f(a-0)＝f(a)
が保証されているわけです。
つまり h→0　が　h=0 とおけることが保証されているわけです。

お礼

有難うございました。