微分係数について

質問

微分係数について質問です。微分係数とは平均変化率の極限をとったもの即ち、lim(h→0)f(x+h)-f(x)/hですよね?例えばf(x)=x^2の平均変化率は2x+hとなりlim(h→0)にすると2xになります。但しこれは極限値であり平均変化率は2xに限りなくいくらでも近づくことができますが、2xそのものには決してなりえませんよね？それなのに平均変化率を2x(極限値)そのものにして良いのでしょうか？直感的には必ず、微小な誤差hがつきまとうと思うのです。
回答よろしくお願いいたします。

回答No.4

mmitsukuni

>平均変化率は・・・2xそのものには決してなりえませんよね？
>それなのに平均変化率を2x(極限値)そのものにして良いのでしょうか？

いずれもその通りです。

ただし、平均変化率の「極限」を微分としてよいのは、
その点Xで関数が「連続」で「微分可能」な時です。

Y＝｜X｜(絶対値関数）は、X=0 の点で
　　左から近づくときの平均変化率(の極限)は-1になりますが
　　右から近づくと+1になります。
　　この関数はX=0の点で（連続ですが）微分不能といいます。

Ｙ＝［X］(ガウスの記号）はXをこえない整数を表す関数です。
　　これは、整数Nに対してN≦X<N+1の範囲でY=Nになります。
　　グラフは階段状で不連続ですが平均変化率はどこでも0で同じです。
　　しかし、これはX=Nで 微分(0ですが)が存在するとは言いません。
　　（0＜X＜N+1 では、区分的に連続だから微分を0として良い。）

いい換えると、微分可能とは、関数が連続で、
左から近づくときの平均変化率の極限と
右からのから近づくときの平均変化率の極限が
等しいときで、それが微分です。

ということで、2X-h と 2X+h のh→0 の極限が2X
に一致すると言われると、納得できるでは・・・

回答No.3

Mathmi

自分も疑問に思ってた頃があります(苦笑)
確かに「収束する」とは「その値になる」訳ではありません。

では、なぜf(x)=x^2を微分すると2x+hではなく2xとなるのか。
はさみうちの原理、更に言えばε-δ論法に詳しいのですが

lim(h→0){f(x+h)-f(x)]/h
　={(x+h)^2-x^2}/h
　=2x+h
lim(h→0){f(x)-f(x-h)]/h
　={x^2-(x-h)^2}/h
　=2x-h

x-hからxになる時の傾きは2x-h
xからx+hになる時の傾きは2x+h
傾きが連続して変化する時、2x-h<=f'(x)<=2x+hとなり、xの時の傾きは2x以外にあり得ないので、f'(x)=2xである。

回答No.2

kamisenbon

極限とは、「どの値に収束するか」を表したものであり、h≠0である以上、決して2x+hに収束するわけではありません。

質問者さんがどこまでいっても微小なhが存在すると言っているのは
lim(h→0){2x+h}
ではなく
2x+h
を考えているからです。

lim(h→0){2x+h}＝2x+hではないことは十分注意してください。

繰り返します。
極限は「どの値に収束するか」を表したものです。
収束値には微小なhなんて入り込む余地なんてあり得ません。

回答No.1

bran111

>それなのに平均変化率を2x(極限値)そのものにして良いのでしょうか？直感的には必ず、微小な誤差hがつきまとうと思うのです。

それ故に微小な誤差hを0にしようとする努力がlim(h→0)です。

補足

回答ありがとうございます。lim(h→0) 2x+h =2xと誤差hが0に収束し2xに限りなく近づくということは分かるのです。そもそも私なりの極限値に対する理解(というよりイメージ?)というのはその値にはいくらでも近づけることができるが、その値自身には絶対にたどり着かないというものなのです。なんか納得できないのです。決してなりえない値(極限値)が平均変化率そのもだというのが、、、
誤差h(例えばh=0.001等)は無視できないという主張にたいして、じゃあhを0.0001にすればより2xに近くなるよという誤差hを無視できないとするという意見にたいして、ならばそのhより小さいの選べばより2xに近づく