微小値の微分

質問

数学の微分に関する質問です。

微小な値を微分すると、その結果もまた微小値となるのでしょうか？

例えば、時間tの関数θ(t)という関数があるとして、
θ(t)を微小値とするとき(|θ(t)|<<1)、θ(t)を微分したd{θ(t)}/dtもまた微小値と言えるのでしょうか？

僕は微小値(この場合θ(t))は微小であり続けるため、あまり大きく変化することはできない、つまり微小な値を微分すると、その結果もまた微小値になると思っています。

この問題はどのように考えればよいのでしょうか？
どなたかご教示願います

回答No.5

proto · ベストアンサー

＞1/N^2<tのときも
＞θ(t) = Nt
＞の場合を考えると（勝手に考えてみました）、最終的にはθ(t)は微小な値ではなくなってしまうと思います。

＃3で定義したθ(t)は1/N^2<tのとき、あくまでθ(t)=1/Nです。
これはθ(t)が常に|θ(t)|≦1/Nを満たすようにあえて付け加えた条件です。

1/N^2<tのときθ(t)=Ntという関数は＃3で定義したものとは別物です。
t→∞で発散するような関数を選べばθ(t)が微小で無くなってしまうのは当然でしょう。

別の例を挙げましょう。
　　θ(t) = arctan(a*x)/N
を考えてみてください。
a,Nは、a>0、N>0なる定数です。

θ(t)は、全てのtについて
　　|θ(t)| < π/(2N)
を満たします。
Nを充分に大きくとれば、θ(t)は常に微小値になります。

一方、dθ/dtは
　　dθ/dt = (a/N)*(1/(1+(at)^2))
で、t=0のとき最大値をとり、そのときdθ/dt=a/Nです。
先ほどNを充分に大きくとると書きましたが、aの値を更に大きくとれば、t=0におけるdθ/dtはいくらでも大きくなります。
(例えばa=N^2とすれば、t=0のときdθ/dt=N)

今回の例ではaの値をどのようにとってもθ(t)が発散することはありません。

もう少し条件を明確にした方が解答しやすいと思いますよ。
θ(t)が満たすべき条件は何ですか？dθ/dtが満たすべき条件は何ですか？
それを踏まえてdθ/dtのどんな性質を示したいですか？
出来れば数式で書く方が良いと思います。

お礼

ご回答ありがとうございます。

今回もわかりやすい例を挙げてくださり、ありがとうございます。

条件についてですが、「θ(t)が微小であること」しかありません。
数式で表すと「|θ(t)|<<1」でしょうか。dθ/dtが満たすべき条件は特に指定はありません。

この問題について考えたとき、例に挙げてくださった問題のように
dθ/dtが微小でなくとも|θ(t)|<<1となることがあるのは分かります。

僕の疑問の原点は、常にdθ/dtが同符合で、かつt→∞となるような場合でも、
|θ(t)|<<1を満たすにはどうすればいいのか？ということでした。

そして得た結論は、
「dθ/dtが微小でなくとも|θ(t)|<<1は成り立つケースはあるが、
どんな変化をしても|dθ/dt)|<<1ならとりあえず|θ(t)|<<1と言ってもいいだろう。
→どんな変化をしても常に|θ(t)|<<1であるためには|dθ/dt)|<<1だ」
というものでした。

おそらく皆様は
「|dθ/dt)|<<1でなくとも|θ(t)|<<1となることはある」
という視点でアドバイスをくださったのだと思います。
そして自分は
「どんな変化をしても常に|θ(t)|<<1であるためには|dθ/dt)|はどうなればいいのか」
を聞きたいと思い、このたび質問させていただきました。

「どんな変化をしても常に|θ(t)|<<1である」
という勝手な仮定をし、そのことを皆様に伝えることを怠ったため、皆様にご迷惑をおかけしました。

改めてお聞きしたいのですが、
どんな変化をしても常に|θ(t)|<<1であるためには、dθ/dtが満たすべき条件は何なのでしょうか？

よろしければご教示ください

補足

長らく他の回答が投稿されないので、回答の募集を打ち切ります。

結論は出ませんでしたが、皆様のおかげでさまざまな考えができるようになったと思います。

今までご回答いただき、ありがとうございました

回答No.4

koko_u_u

>ですが、微小値の微分が微小でなく、さらに常に同符号である場合、
>そのうち（この場合t→∞）θ(t)は微小の域を出てしまうと考えることはできないでしょうか？

いろいろ考えることは重要です。
しかし、何を前提としているかを強く意識していないと、『自分が望む結論』を恣意的に導出してしまいます。

あなたは自分の結論に都合のいい前提を勝手に置いていませんか？
今直面している問題がどのような前提で成立しているのかを再度考えるべきです。

お礼

ご回答ありがとうございます。

自分も
「微小値の微分が微小でなく、さらに常に同符号である場合、
のうち（この場合t→∞）θ(t)は微小の域を出てしまうと考えること」はできないと思います。

ただし、これはあくまで「思う」であって絶対に間違ってるおは言い切れません。
自分としてはむしろ皆様にこの考えは間違っているということ、
そしてなぜその考えが間違っているのかを教えていただきたいと思い、このたび質問させていただきました。

できればなぜこの考え方がなぜ間違っているのかを教えていただけたら幸いです。

回答No.3

noname#221368

#1，#2さんの仰る事が、数学的に正しいです。

　ただし、いわゆる滑らかな関数（出来れば、無限回微分可能）と呼ばれるものについては、あなたの仰る傾向は、概ねはあると思います。微分を差分で近似すれば、微少値の差はやはり微少なので、Δtで割っても、それほど大きくはならないだろう（だろうです）、からです。厳密にはΔtとの勝負になりますが、これが皆さんの仰っている事です。

　物理や工学の方では、こういう仮定を時々行って、結論を出す事もあります。

お礼

ご回答ありがとうございます。

確かに数学的には#1，#2さんの仰る事が正しいと思います。
実は、物理の問題でつまずいたので質問させていただいたのです。
物理や工学の方では、こういう仮定を時々行って、結論を出す事があるのですね。
ご教示いただきありがとうございました

回答No.2

proto

次のような関数を考えてみてください。
t<0のとき
　　θ(t) = 0
0≦t<1/N^2のとき
　　θ(t) = Nt
1/N^2<tのとき
　　θ(t) = 1/N

Nは正の定数です。出来ればグラフも描いてみてくださいね。

θ(t)は最小値が0で最大値が1/Nですから、Nを大きくすればいくらでも微小な値になれるでしょう。
しかし0≦t<1/N^2の範囲でdθ/dtを考えると
　　dθ/dt = N
ですから、Nを大きくするとdθ/dtはいくらでも大きくなるのです。

お礼

ご回答ありがとうございます。
たしかに、その例をexcelで計算してみたところdθ/dt = Nとなりました。

質問なのですが、この場合
1/N^2<tのときも
θ(t) = Nt
の場合を考えると（勝手に考えてみました）、最終的にはθ(t)は微小な値ではなくなってしまうと思います。

ご教示いただいた例では、dθ/dtが微小でなくとも、θ(t) は微小でしたが、
それは今回の例に限った話なのではないでしょうか？
よろしければご教示いただけないでしょうか？

ところでグラフを描いてたところ、√の左端の無いような形になりましたが、これであっていますか？

回答No.1

koko_u_u

微小値という言い回しがちょっとよくわかりませんが、

数学的にはθ(t)の絶対値が小さいからといって、その微分が小さくなる道理はありません。
「微小値」と呼んでいる値の幅のなかで「激しく」振動すればいいだけですから。

お礼

ご回答ありがとうございます。
友人もそのように言っていましたし、納得できます。

ですが、微小値の微分が微小でなく、さらに常に同符号である場合、
そのうち（この場合t→∞）θ(t)は微小の域を出てしまうと考えることはできないでしょうか？

そして、「微小値の微分が微小でなく、さらに常に同符号である場合」
という過程がそもそも成り立たないのでしょうか？

よろしければご教示いただけないでしょうか？