数学で解らない問題があるので教えてください。

質問

数学で解らない問題があるので教えてください。

x≧0、y≧0とし、不等式c(x+y)≧2√(x+y)…(＊)　を考える。
ただし、cは正の定数とする。

(1) c≧１のとき、(＊)は常に成り立つことを示せ。
(2) (＊)が常に成り立てば、c≧１であることを示せ。
(3) √x +√y ≦k√(x+y)が常に成り立つような正の定数kのうちで、
　　最小なものはいくらか。

(3)が特にわからず困っています・・・(*_*)
(1)、(2)は相加相乗平均を利用するんだと思うのですが。。。

回答No.1

f272

(1)
c=1,x=1,y=1のとき
c(x+y)=2
2√(x+y)=2√2
となって(＊)は成り立ちません。

きっとc(x+y)≧2√(xy)の間違いなんだろうね。
相加相乗平均を使えばよい。

(2)
x=y=1を代入するだけ。

(3)
√x +√y ≦k√(x+y)
を２乗してからx+yを引けば
2√(xy)≦(k^2-1)(x+y)
となるよね。あとは簡単です。