高１の数Ａで至急お願いします！

質問

数Ａで明日提出です。(1)は答えはあるんですが解説がなくてサッパリです。
どうか教えてください！お願いします！！

(1)次の方程式を満たす正の整数Ｘ，Ｙの値の組をすべて求めよ。
　Ｘ（２乗）－ＸＹ－２Ｙ（２乗）＝４
　　　　　　　　　　　　　　　　答えは（Ｘ，Ｙ）＝（３，１）

(2)次の不等式を証明せよ。
　Ａ（２乗）＋３Ｂ（２乗）＋２ＡＢ－２Ａ＋２Ｂ＋３＞＝０

です。よろしくお願いします。

回答No.2

oshiete_goo · ベストアンサー

(1)
x^2 -xy -2y^2=4
⇔(x-2y)(x+y)=4
と書けます.
x,yが正の整数ならx+yも正の整数なので, 積が4より, x-2yも正で, x+y＞x-2y＞0より....

(2) 平凡に示すと
Aについて整理して
A^2+3B^2+2AB-2A+2B+3
=A^2+(2B-1)A+3B^2+2B+3
={A+(B-1/2)}^2-(B-1/2)^2+3B^2+2B+3
={A+(B-1/2)}^2+2B^2+3B +11/4
={A+(B-1/2)}^2+2{B^2+(3/2)B} +11/4
={A+(B-1/2)}^2+2[{B+(3/4)}^2-(3/4)^2] +11/4
={A+(B-1/2)}^2+2{B+(3/4)}^2-9/8 +11/4
={A+(B-1/2)}^2+2{B+(3/4)}^2+13/4＞=0
[A,Bは実数より]

話の流れはこんなものでしょうが, 値は保証できません. 必ずご自分で確かめてください.

回答No.5

seven_triton

(2)について。ポイントは平方完成することです。
だいたい＃３の方のでいいのですが，下から2行目の不等式はどちらも等号を入れなきゃです。
＃２のかたは式変形の２行目がちがいますね。Aに関して整理してあるのですが，１次の係数は2B-1ではなくて2(B-1)です。
＃４の方に対してですが，，因数分解ではなくて平方完成するのがこの問題の主旨です。

それから，不等式の証明問題では，不等号に等号が入っている場合は，「等号成立条件」を書いてあげておくとよいでしょう。この問題ではA=2,B=-1です。

文句みたいになってすみません。

回答No.4

noname#21384

こんばんわ。３５歳のおばさんです。数学は大好きなのでやってみました。

（１）Ｘ（２乗）－ＸＹ－２Ｙ（２乗）＝４
因数分解すると(x+y)(x-2y)=４となります。
a×b=４になるためには、(a,b)=(1,4)(2,2)(4,1)(-1,-4)(-2,-2)(-4,-1)
　　 の組み合わせがあります。
　　　計算の結果、x>0かつy>0のため、x+y=4,x-2y=1によりx=3,y=1の結果が出ます。

（２）Ａ（２乗）＋３Ｂ（２乗）＋２ＡＢ－２Ａ＋２Ｂ＋３＞＝０
　証明問題ですよね(^^)　因数分解に手間取っています。
　すいません。

回答No.3

ADEMU

（１）Ｘ＾２　－ＸＹ　－２Ｙ＾２＝（Ｘ＋Ｙ）（Ｘー２Ｙ）＝４
Ｘ、Ｙが正の整数ですのでＸ＋Ｙも正の整数です。
また、Ｘ＞２Ｙとなります。

２つの整数をかけて４になる組み合わせは１×４（４×１）、か２×２しかありません。
Ｘ、Ｙが整数ですのでＸ＋Ｙは４か２となります。
しかし、Ｘ＞２Ｙですので結局Ｘ＋Ｙ＝４となります。
Ｘ－２Ｙ＝１となりますので連立方程式を解けば、
（Ｘ，Ｙ）＝（３，１）となります。

（２）変形すると
（Ａ＋Ｂ－１）＾２＋２（Ｂ＋１）＾２となるので
Ａ＋Ｂ－１）＾２＞０、２（Ｂ＋１）＾２＞０なので
成立します。

回答No.1

noname#181872

ヒントを

(1)左辺を因数分解しましょう。そうするとA×B=4という形になります。
ここで条件X,Yはともに正の整数と言うことから、ここで因数分解した
因数も整数ですね（正かどうかはわからないけど）。

で、実際解いてもらうと分かると思いますが、X,Yはともに正の整数なら
因数分解した片方は必ず正になります。そうすると、A×B=4なら
(A,B)=(1,4)or(2,2)or(4,1)ですね。

(2)要は全部なんかの2乗の和にすればいいのです。