3次元の方程式、不等式

質問

０≦ｘ≦１かつ０≦ｙ≦１かつ０≦ｚ≦１かつｘ＾２＋ｙ＾２＋ｚ＾２－２ｘｙ－１≧０
ｚ＝ｋ（ｋは定数０≦ｋ≦１）(1)について、

（ｚ＝定数ですから、０≦z≦１ではなくｚは定数で、）
(1)⇔０≦ｘ≦１かつ０≦ｙ≦１かつｘ＾２＋ｙ＾２＋ｋ＾２－２ｘｙ－１≧０かつｚ＝ｋ（０≦ｚ≦１）としてよいのでしょうか？
ｚ＝ｋを代入したからその式をもう書かなくてよいとしてしまいそうなのですが、一般的に他の方程式・不等式に代入しても（ｚ＝ｋのように）残しておくと覚えてよいでしょうか?

回答No.3

stomachman

ANo.2へのコメントについてです。

> ０≦ｘ≦１、０≦ｙ≦１、０≦ｚ≦１、ｘ＾２＋ｙ＾２＋ｚ＾２－２ｘｙ－１≧０をｚ＝ｔで切った平面はどのような式であらわされるのか？

　その平面は（不等式とは全く関係なく）z=k つまり{ (x,y,z) | z=k}という点の集合です。それはさておき、

　　０≦ｘ≦１
　　０≦ｙ≦１
　　０≦ｚ≦１
　　ｘ＾２＋ｙ＾２＋ｚ＾２－２ｘｙ－１≧０
　この連立不等式を満たす(x,y,z)の集合をUとしますと、Uが「元々の問題」で言う「この立体」。そして、Uのうちz=tであるような部分集合を取り出したものV、言い換えれば、Uと{ (x,y,z) | z=t}の共通部分Vが、「この断面」ですね。
　さて、「元々の問題」は、「この断面」を2次元の図形だと思えと言うのです。しかも問われているのは、単にその図形の面積だけである。面積を計算するだけなら「その図形が乗っている平面が空間中のどこに浮かんでいるか」ということは全く関係ありません。だからz座標はもう要らず、つまりzのことなんか完全に忘れて良くて、その2次元図形を表す
　　v= {(x,y) | ０≦ｘ≦１, ０≦ｙ≦１, ｘ＾２＋ｙ＾２＋t＾２－２ｘｙ－１≧０}
という集合（「元々の問題」はこれを図示しろというのです）だけを考えれば良い。（3次元空間の点(x,y,z)の集合Vじゃなく、2次元空間の点(x,y)の集合vだけを考えれば良い。）
　つまりANo.2の[1]の話に該当します。

補足

3次元の座標についての理解が甘いので、１つ１つ疑問を解決していきたいのですが、
まず、（Q)０≦ｘ≦１、０≦ｙ≦１、０≦ｚ≦１、ｘ＾２＋ｙ＾２＋ｚ＾２－２ｘｙ－１≧０をｚ＝ｔで切った平面はどのような式であらわされるのか？

　ー（A)その平面は（不等式とは全く関係なく）z=k つまり{ (x,y,z) | z=k}という点の集合です。

とのことですが、
｛０≦ｘ≦１、０≦ｙ≦１、０≦ｚ≦１、ｘ＾２＋ｙ＾２＋ｚ＾２－２ｘｙ－１≧０｝かつ｛ｚ＝ｋ（ｋは０≦ｋ≦１を満たす定数）が平面の満たす関係ですから、

0≦x,y≦1,z=k(kは定数で0≦k≦1)、x^2+y^2+k^2-2xy-1≧0
ではないのでしょうか？
ｚ＝ｋだけではｚ＝ｋでｘ、ｙについては任意という集合を表すと思うのです。

回答No.2

stomachman

「覚える」ような話じゃありません。

　最初の行にお書きのx,y,zに関する不等式（(a)としましょう）において、zにkを代入してx,yに関する不等式（これを(b)としましょう）を導いた。

[1] もし、以後zが全く出て来ないのなら、もちろん、zなんかもう関係ありません。だから、z=kという式も式(a)も不要で、(b)だけあれば足りる。

[2] しかし、もし後でzを使う都合があるのなら、その時には式(a)が当然必要である。このとき、z=kとは限りません。zを変数として扱うからこそ、それは定数kではなくzでなくちゃいけないんですから。（もしzを変数として扱わないのなら(b)だけで済み、それは[1]の話です。）
　たとえば、(a)と(b)を併せて使うということなら、「(a)と(b)の二つの不等式がある」という所から話が始まるわけで、「(b)を得るには(a)においてzにkを代入した」ということはもはやどうでも良い。もちろん(a)に出て来るzは定数ではなく、なので(b)に出て来るkとは関係がない。

補足

元々はｘｙｚ空間において、０≦ｘ≦１、０≦ｙ≦１、０≦ｚ≦１、ｘ＾２＋ｙ＾２＋ｚ＾２－２ｘｙ－１≧０が成り立つ。

この立体を平面ｚ＝ｔを切ったときの断面をｘｙ平面に図示し、この断面の面積S(t)を求めよ。
という問題で、解答の方針も理解できているのですが（問題の解答には直接は関係してきませんが）、０≦ｘ≦１、０≦ｙ≦１、０≦ｚ≦１、ｘ＾２＋ｙ＾２＋ｚ＾２－２ｘｙ－１≧０をｚ＝ｔで切った平面はどのような式であらわされるのか？と思い質問しました。
｛0≦x≦１、０≦ｙ≦１、０≦z≦１,x^2+y^2+z^2-2xy-1≧0,z=k（kは定数で、0≦k≦1）｝（(1)）
はｚ＝ｋ（定数）とｚ座標が確定していることから
(1)⇔0≦x≦１、０≦ｙ≦１、,x^2+y^2+k^2-2xy-1≧0、ｚ＝ｋ（kは定数で、0≦k≦1）ではないのでしょうか？
この際に、ｚ＝ｋをx^2+y^2+k^2-2xy-1≧0と代入したからもうｚ＝ｋは不要としてしまいそうだったので、「代入しても元の式は残す」ことを意識すべきなのか？ということを質問しました。

回答No.1

spring135

u=x-y

とすると０≦ｘ≦１かつ０≦ｙ≦１より

-1≦u≦1　　　(1)

で

u^2+z^1≧1　　　(2)

という領域を指しており、

u-z平面の原点を中心とする半径1の円(2)の外側で(1)の範囲ということです。

ここでz=kという水平線で切ってみてどうなるかということを調べよというのが問題の大筋でしょう。

もちろんｚ＝ｋ（ｋは定数０≦ｋ≦１）は守らなければなりません。