複素数平面の問題

質問

α＝１＋i、β＝２＋iとする。
いま、Ｐ０＝α＊β、Ｐ１＝α＾２＊β・・・
Ｐｎ＝α＾ｎ＊βとすると、三角形ＰｎＰｎ＋１Ｐｎ＋２の面積は？

という問題です。出来れば早く回答いただけると嬉しいです。よろしくお願いします。

回答No.5

oshiete_goo · ベストアンサー

答えは#4さんのお答えどおりで,
示し方は

１）直接３頂点の具体形を使って，面積公式．
２）数学的帰納法．
３）△P0P1P2＝5/2　を示して，後は＃３で述べた通り，回転＆拡大の意味を説明して相似により △PnPn+1Pn+2＝(√2)^(2n)△P0P1P2＝(2^n)△P0P1P2　を説明．

など，いろいろできます． 筆者なら　３）でしょうか．

お礼

（１）（２）の方法は考えたのですが、僕には上手く出来ませんでした。（３）なら出来そうです。どうもありがとうございました。

回答No.4

digitalian

n=0のとき、△P0,P1,P2の面積は5/2
n=1のとき、△P1,P2,P3の面積は5
n=2のとき、△P2,P3,P4の面積は10
n=3のとき、△P3.P4.P5の面積は20
n=4のとき、△P5,P5,P6の面積は40

から、△Pn,P(n+1),P(n+2)の面積は、5/2×2^nと予想される。

すみませんが、頭悪いんで、私は証明できません。眠いので、もう寝ます。では、おやすみなさい……

お礼

帰納法的なアプローチは考えたのですが、どうも上手くいきませんでした。回答ありがとうございました。

回答No.3

oshiete_goo

複素数αを掛けるということは
α＝(√2)(cos45°+isin45°)
ですから, 隣り合う2項: →OPnと→OPn+1を比べると,
絶対値が√2倍で,偏角が+45°
の関係にあります.

このことに注意して,
△PnPn+1Pn+2＝△OPnPn+1＋△OPn+1Pn+2－△OPnPn+2
から出そうですね.
ただし, 実際には全て相似なので, △PnPn+1Pn+2＝(√2)^(2n)△P0P1P2
(相似比の2乗のさらにn乗)ですみそう.

回答No.2

digitalian

これ、あきらかに、問題、まちがってますよ。……って、
No.1さんのご指摘のとおりです。（先に書かれてしまった……）

補足

ご指摘の通りです。失礼しました。

回答No.1

eatern27

三角形はＰn,P(n+1),P(n+2)を頂点をする三角形でいいですね。
それから、
Ｐｎ＝α＾ｎ＊βであるという事は、n=1のときに
Ｐ１＝α＊βとなり、Ｐ１＝α＾２＊βに矛盾するのですが、
どちらを信用すればいいでしょう?

Ｐn＝α＾n*βですか?Ｐn＝α^(n+1)*βですか?

補足

失礼致しました。こちらの勘違いで、

Ｐ０＝β、Ｐ１＝α＾１＊β、Ｐｎ＝α＾ｎ＊β

でした。また、三角形についてはおっしゃる通りです。
よろしくお願いします。