複素数平面の問題で・・・

質問

自力では無理でした。どなたか回答を教えてください。

tを－iとは異なる複素数とし、z＝1＋ti/1－ti（1－ti分の1＋ti）とおく。
(1)tが実数のとき｜z｜＝1であることを示せ。
(2)｜z｜＝1ならばtが実数であることを示せ。

よろしくお願いします。

回答No.2

KENZOU · ベストアンサー

複素平面上での点Ｐを考えます。点Ｐのｘ成分をａ、ｙ成分をｂとすると、点Ｐは
　ｚ＝ａ＋ｂi，（但しａ，ｂは実数）　(1)
と書けますね。
|z|というのは原点から　　　　　y
点Ｐまでの距離と定義　　　　　｜　　　　Ｐ
されますから、三平方　　　　ｂ｜　　　　●（ｚ）　
の定理により　　　　　　　　　｜
　　　　　　　　　　　　　－－－－－－－－－－－ｘ　
　　　　　　　　　　　　　　０｜　　　　ａ
　|z|＝√(a^2＋b^2)　(2)

となります。

１）さて、与式の複素数を変形すると
　ｚ＝(1+ti)／(1-ti)＝(1+ti)(1＋ti)／(1ーti)(1＋ti)
　　＝(1-t^2)／(1+t^2)＋2ti／(1+t^2)　(3)
となって、実部と虚部に分けることができます（ここでｔは実数という条件を使っています。実数でなければどうなるか、考えてください。ヒント：ｔが虚数なら(3)の式はさらに計算を進めないといけない）。ここまでくれば(1)と同じですから(2)を使って丹念に計算すると
　|z|＝1　(4)
が得られます（←TRYしてみてください）

２）|z|＝1ということは距離ＯＰが１ということですから、複素数ｚは半径１の複素平面上の円周上にあるということになりますね。したがって(1)より
　－1≦ａ≦1，－1≦ｂ≦1　　(5)
となります（←絵を書けば分かる）。
(1)と(3)より
　ａ＝(1-t^2)／(1+t^2)　　(6)
　ｂ＝2t／(1+t^2)　　(7)
となりますね。(6)より
　t^2＝(１－ａ)／（１＋ａ）　(8)
ａは(5)の条件を満たすから(8)式の右辺は正となり、したがってｔは実数となります（2乗して負であれば虚数となる）。
ついでに(7)より
　t^2－(2/ｂ)t＋1＝０　(9)
これの判別式をＤとすると、ｂは(7)の条件を満たすから
　Ｄ＝(1/b)^2－１≧０　(10)
つまり、tは実根を持つことになり、ｔは実数であることになります。

お礼

すごく細かく書かれてあるので、驚きました。とても分かりやすかったです。こういった回答法もあることを知って勉強になりました。本当にありがとうございました。

回答No.3

ONEONE

＃１です。
まちがえました！！
＞ｔが虚数だとしてｔ＝ki（ｋ≠0、ｋは実数）・・・**とおいてみる。

これあかんです。虚数でないことしか示してない・・・。

回答No.1

ONEONE

z＝(1＋ti)/(1－ti)
（１）
分母を有利化してください。
実部と虚部に分けて→絶対値をとってください。
いい感じにｔが消えて、示されます。

（２）

|z|=|(1＋ti)/(1－ti)|=1
⇔|1＋ti|=|1－ti｜・・・＊
ｔが虚数だとしてｔ＝ki（ｋ≠0、ｋは実数）・・・**とおいてみる。
＊は|1-k|＝|1+k|
となるがこれはk=0のときのみ成り立つが**に反する。
よってｔは実数。

お礼

わざわざありがとうございます！解くことができて気持ちがすっきりしました。本当にありがとうございました。