またまた複素数平面の問題・・・

質問

複素数平面上に原点以外の点A（α）、B（β）をとる。
このとき、（Z－αバー）（Zバー－β）＝（Zバー－α）（Z－βバー）
を満たす点P（Z）はどのような図形上にあるか。

という問題なのですが、展開してZとZバーをまとめて行き詰まってしまいました。
計算で解くのではなく、図形的に解くのでしょうか？
ヒント、お願いします。

回答No.2

tenro · ベストアンサー

このような問題は、極形式で解くのが常套手段です。
式を変形すると
　(Z-βbar)/(Z-αbar)が実数
という式になります。両辺の偏角をとり
　arg(z/w)=arg(z)-arg(w)
　実数の偏角は±π
を使って、式を解釈すればすぐ答えにたどりつきます。

回答No.3

Rossana

みなさん式で計算しておられるので，僕は図形的に説明したいと思います．

バー：面倒なので\で表す事にします．
(z－α\)(z\－β)＝(z\－α)(z－β\)
(z－α\)(z\－β)＝{(z－α\)\}{(z\－β)\}
(z－α\)(z\－β)＝{(z－α\)(z\－β)}\
ここで，w＝(z－α\)(z\－β)と置くと，
w＝w\
ですから，wは実数，すなわちガウス平面の実軸上を動くことになります．
そして，
w＝(z－α\)(z\－β)という式を分析すると，点Aから点Pに向かうベクトルに，点Bから点Pに向かうベクトルの大きさを掛け，点Bから点Pに向かうベクトルの偏角だけ回転させた点がwとなります．
紙と鉛筆を使って適当に点A，Bをとり図形を描いて考えてみて下さい．

回答No.1

tarame

力技になるのですが、
ｚ＝x＋yi，α＝a＋bi，β＝c＋di とおいて解くと、
直線の方程式が導かれますよ。
----------------でも--------------------
複素数平面的(？）に解こうとすると
（ｚバーを<z>と表すことにします）
(z－<α>)(<z>－α＋α－β)＝(<z>－α)(z－<α>＋<α>－<β>)と式変形して
(α－β)(z－<α>)＝(<α>－<β>)(<z>－α)から
(α－β)(z－<α>)＝<(α－β)(z－<α>)>
よって、(α－β)(z－<α>)＝ｋ（実数）とおける。
これを、ｚ＝ｍ(<α>－<β>)＋<α>　と変形できることから
直線であることが導かれます。

お礼

ありがとうございました。参考になりました。