三角形の3辺上の点を結んでできる三角形の周長の最小値

質問

三角形の3辺上の点を結んでできる三角形の周長の最小値は、
元の三角形の各辺の長さをａ、ｂ、ｃとすると、

(ａ+ｂ+ｃ)(-ａ+ｂ+ｃ)(ａ-ｂ+ｃ)(ａ+ｂ-ｃ)
――――――――――――――――――――
２×ａｂｃ

となるそうなのですが、その証明と計算の両方が書かれているサイトなどがあれば教えていただけないでしょうか。

また、四角形だとどうなるかとか、四面体だとどうなるかとか、面積だとどうなるかとか、発展的事実があれば教えていただきたいです。
よろしくお願いいたします。

回答No.2

kumipapa · ベストアンサー

私は不勉強でよく知らないのですが、垂足三角形らしいですね。
下記の説明を見つけましたので、参考まで。ただ、これは高校１年向け（にしては難しそう）の証明だそうですから、もっと違う証明もありそうな。

http://ir.lib.hiroshima-u.ac.jp/metadb/up/niikiyo/KJ00004291626.pdf

その他、「三角形　周長」で検索してもいくつかヒットしますので、ご覧になってみてください。

回答No.1

take_5

△ＡＢＣの辺ＢＣ上に点Ｑをとり、点Ｑの線分ＡＢに関する対称点をＱ´とし、点Ｑの線分ＡＣに関する対称点をＱ´´とする。
辺ＡＢ上の点をＰ、辺ＡＣ上の点をＲとすると、△ＰＱＲの周の長さＬは、Ｌ＝Ｑ´Ｐ＋ＰＲ＋ＲＱ´´である。
今、Ｑを固定するとＱ´、Ｑ´´は定点からＬ≧Ｑ´Ｑ´´となる。
等号が成立するのは、ＰとＲが線分Ｑ´Ｑ´´上にあるとき。
以下、ＢＱ＝xとしてその値を具体的に求めることになるが、単なる三角形では計算が面倒そう。
それ以上の計算はやる気がしない。続きは、自分でやって下さい。

△ＡＢＣが例えば、正三角形のような限られたものなら計算は簡単。
Ｐ、Ｑ、Ｒが各辺の中点の時に最小になる。