最小サイズの求め方

質問

「各辺長がa,b,cの直方体が4個あります。これら4個を1つの荷物としてまとめて梱包し、発送するとき各辺の長さの合計が最小になる組み合わせを求めなさい」

このような問題が出たらどのようにして解けばよいでしょうか？すべての組み合わせを総当たりで試す方法しかありませんか？

回答No.3

4810noja · ベストアンサー

たぶん、一番エレメンタリーな考え方でしょうが、バカバカしいと思わないで読んでください。

No.1さんの回答を借りて、直方体の各辺a、b、cの長さをa>b>cとします。
この直方体2個を小さいサイズでまとめる場合、辺aを延長する方向には並べませんよね。これでは辺の合計サイズが大きくなってしまうからです。
(2a+b+c)

このことから、一番小さいサイズに並べるには一番短い辺cを延長する並べ方が良いことが分かります。
(a+b+2c)

直方体が4個あるので同じものがもう1組できます。
この2組の直方体を、同じように一番短い辺を延長する考え方で並べれば、最少サイズの直方体ができ上がります。
つまり、
(b>2c)
であれば辺2cを延長する
(a+b+4c)
の1列4段並び、

(b<2c)
であれば辺bを延長する
(a+2b+2c)
の2列2段並びになります。

お礼

スッキリ！です。

お礼が遅くなりすみません。ありがとうございます。

回答No.5

kanemoto_s

#2です。

＞元の直方体に対して1×2×2

元の直方体を4つ重ねるのだから、最大の辺では積まずに残りの2辺の方向に2つずつ、直方体を2×2で積みます。

1×1×4は最小の辺の方向に4つ重ねて積みます。

お礼

お礼が遅くなりすみませんでした。

ありがとうございました。

回答No.4

kanemoto_s

#2です。

0以上の2つの数のうち大きい数を選択するときには、差を取って0と比べるのが一般的です。

(2)-(1)>0 ならば、(2)の方が大きく解は(2)
(2)-(1)=0 ならば、(2)=(1)で解は(2)=(1)どちらでも同じ値
(2)-(1)<0 ならば、(1)の方が大きく解は(1)
になります。

省略していた解答は
y≧2zならば、x+2y+2z (1×2×2の直方体)
y<2zならば、x+y+4z (1×1×4の直方体)
です。(2)=(1)の時は残りのどちらかに含めて書くと省略できるので、前者に含めています。

お礼

お礼が遅くなりすみませんでした。

ありがとうございました。

回答No.2

kanemoto_s

>すべての組み合わせを総当たりで試す方法しかありませんか？

総当たりでも7種類ほどなので困らないですね 。以下のように考えてみてください。ほぼ解答ですが。

大小関係が書いてなく面倒ですのでまず大小関係を限定します。

「長さが最大の辺をx、最小の辺をz、残りの辺をyと取り直すと
x≧y≧z
が成り立つ」
⬆このように書き直すと解が自明に書けます。

その上で、直方体の組み立て方が2通りあるので、以下のようにその差を取って0と比べます。

「元の直方体に対して1×2×2の直方体の積みかた3種類のうちで最小のものは、
x+2y+2z ...(1)
となる。

元の直方体に対して1×1×4の直方体の積みかた3種類のうちで最小のものは、
x+y+4z ...(2)
となる。

直方体以外の解1種は(自明的に最小にならないですが減点を食らっても困るので)
2x+2y+2z ...(3)

(3)-(1)=x
x>0なので(3)は解ではない。
」

あとは(2)-(1)の差を取って0と比較し、場合分けをして解答を書けば簡単ではないでしょうか？

お礼

＞元の直方体に対して1×2×2

上の掛け算？部分はどのような意味ですか？

＞その差を取って0と比べます。

０って何ですか？

結構わかりやすい説明ですので補足していただければ理解できると思います。

ありがとうございます。

回答No.1

bran111

a>b>cとしても一般性を失いません。

aを高さ方向にして縦方向に2個、横方向に2個並べると

４個まとめて梱包した直方体の寸法はa,2b,2cとなり各辺の長さの和Sは

s=a+2b+2c

これが最小でしょう

お礼

正しいのはわかりますが複数の可能性の中から「何故」その組み合わせを選んだのかが説明されていないです。

ありがとうございます。