高校数学の面積の最小問題です 3-16

質問

△ABCの重心Gを通り辺BCと交わらない直線lで2つの部分に分けるとき、小さい方の面積が最小になるのはどのような場合か

解説は図のように各点と長さを定める(AB//EG,AC//DG)このとき、Gが重心だからAD=EG=c/3

AE=DG=b/3 AP//EGにより　AP:EG=AQ:EQよってcx:c/3=by:(by-b/3)整理して　1/x+1/y=3(1)

ここで△APQ/△ABC=xyであるから　xyについて考えると(1)により1/xy=1/x×(3-1/x)=-(1/x-3/2)^2+9/4

1/x>1,1/y=3-1/x>1により1<1/x<2であるから　2<1/xy<=9/4 よって1/2>xy>=4/9

ただし等号はx=y=2/3のときに成り立つ　よって△ABCがlで分けられて出来る2つの図形のうち小さい
方は△APQで、その面積が最小になるのはl//BCの場合である

とあるのですがGが重心だからAD=EG=c/3、AE=DG=b/3 の所ですがc/3やb/3 何でそうなるのですか？

それと△ABCがlで分けられて出来る2つの図形のうち小さい
方は△APQで、その面積が最小になるのはl//BCの所ですが△APQが小さい方になるというのが分からないです、□PBCQの方が小さいかもしれないじゃないですか、それとl//BCになるのも分からないです

回答No.2

Tacosan · ベストアンサー

適宜 #1 の記号を使います.

「△ABCがlで分けられて出来る2つの図形のうち小さい方は△APQ」については l が 直線 BH のときとそうでないときとの比較をするのが簡単かな. 「その面積が最小になるのはl//BC」は内分比から △APQ と △ABC の関係が分かれば一瞬.

お礼

御返答有難うございます

補足

分かりました、有難うございます

回答No.1

noname#208225

とり急ぎ分かったところまで。
＞Gが重心だからAD=EG=c/3、AE=DG=b/3 の所ですがc/3やb/3 何でそうなるのですか？
頂点BからGを通る中線と、ACとの交点をHとします。すると、△BGDと△BHAは相似三角形になっているということが分かると思います。以後この2つの三角形だけを見ます（別に図を描いてもらった方が分かりやすいかもしれない。）
BG：GH＝2：1なので、BG：GH＝2：3となります。相似三角形なので、BD：BA＝2：3といえ、BD：DA＝2：1と言えます。ですから、DA＝1/3AB＝1/3cとなります。

お礼

御返答有難うございます

補足

>BG：GH＝2：3
BG:BHじゃないですか？

他の所も分かりました、是非宜しくお願いします