最小値を求める問題なんですけど…

質問

a+b+c=40…(1), 0=<a=<20, 0=<b=<30, 0=<c=<50
上記の条件の時、下の式のＰの最小値を求めるんですけど

P=460-(4a+3b-3c)

上に式に(1)を代入すると

P=300+(b+7c)

この時a=20,b=20,c=0が最小値らしいのですが、なぜこうなるのか分かりません。
教えてもらえませんか？

回答No.6

postro · ベストアンサー

#4＃5です。
#4は、あれはあれで正解だと思います。ただ、たまたま運が良かったからうまくいっただけで
運悪く#5のように式変形してしまったときは次のようにしたらいいと思います。

前半略(#5の続き）
（440-6b)=<P=<（580-6b）
よってPは、P=300+(b+7c)=（440-6b) のとき最小値をとる
300+(b+7c)=（440-6b) 　より
7(b+c)=140 すなわち
(b+c)=20 のとき最小値をとる。(このときa=20 )
c=20-b より
0=<（20-b）=<50　すなわち
0=<（120-6b）=<300　すなわち
320=<（440-6b）=<620
よってP=440-6b は、最小値320、そのときb=20

お礼

お返事ありがとうございました。
とても参考になりました。とても分かりやすくてよかったです。
ありがとうございました。

回答No.10

take_5

迂闊でした。
私の、Ｎｏ7の解も場合わけが必要だったんですね。

0≦b≦30‥‥(3)と10-a≦b≦40-a　‥‥(5).から、40-aと30との大小により、0≦a≦10と10≦a≦20の2つの場合分けが必要になりますね。
勿論、結果は変わりませんが答案としては不十分です。

こうしてみると、Ｎｏ3さんが示された線型計画法が一番いい方法のように思えます。

お礼

お返事ありがとうございます。

正解を導くにはいいやり方だと思います…が、僕にはすこし大変でした。なるべくシンプルに簡潔に答えを出したいと思っていまして、Ｎｏ.５の回答が一番よかったと僕は考えているのですがどうでしょうか？
Ｎｏ.３の答えも少し考えずらく、できれば図を使わずに数式のみで解決したいと考えていました。

回答No.9

take_5

＞最初にbを消去するとそのままの方法ではうまくいかないように思いますが。

場合わけが発生しますが、結果に影響はありません。

a+b+c=40…(1)、0≦a≦20‥‥(2)、0≦b≦30‥‥(3)、0≦c≦50‥‥(4).
b＝40-a-cより、(3)に代入すると、10≦a＋c≦40であるから、10-a≦c≦40-a　‥‥(5).
Ｐ＝460-(4a+3b-3c)＝6c＋(340-a)。これは、傾きが正のcの一次関数であるから、cの下の限界によって最小値をとる値が変わる。

(4)と(5)を比較すると
(I)10-a≧0のとき、即ち0≦a≦10のとき　10-a≦c≦40-a。
傾きが正のcの一次関数であるから、c＝10-aの時に最小になる。
従って、Ｐ＝6c＋(340-a)≧－a＋6(10-a)＋340＝400-7a。
これは、傾きが負のaの一次関数であるから、a＝10のとき最小値330.
(II)10-a≦0のとき、即ち10≦a≦20のとき 0≦c≦40-a。
傾きが正のcの一次関数であるから、c＝0の時に最小になる。
よって、Ｐ＝6c＋(340-a)≧340－a。
これは、傾きが負のaの一次関数であるから、a＝20のとき最小値は320.

以上、(I)と(II)を比較すると、Ｐの最小値は320.
このとき、a＝20、b＝20、c＝0

回答No.8

postro

#4,5,6です
#7さんの方法も、最初にｃを消去したからうまくいったわけで、
運悪く最初にbを消去するとそのままの方法ではうまくいかないように思いますが。

回答No.7

take_5

変な細工をしなくても、オーソドックスに2変数問題として処理すれば良いだけです。

先ず、どれを消しても同じですが、変域が一番広いcを消してみます。

a+b+c=40…(1)、0≦a≦20‥‥(2)、0≦b≦30‥‥(3)、0≦c≦50‥‥(4).
c＝40-a-bより、(4)に代入すると、10≦a＋b≦40であるから、10-a≦b≦40-a　‥‥(5).
Ｐ＝460-(4a+3b-3c)＝-6b＋(580-7a)　これは、傾きが負のbの一次関数であるから、(5)よりb＝40-a　で最小になる。‥‥(6)
このとき、P≧16(40-a)＋(580-7a)＝-a＋340であり、これも傾きが負のaの一次関数であるから、(2)よりa＝20で最小になる。‥‥(6)
このとき、Ｐの最小値は320.
a＝20の時、(6)よりb＝20、a＝b＝20であるから、(1)よりc＝0.

回答No.5

postro

#4です。あの解答はどこかヘンです。どこがヘンなのか？？
同じようなやり方でヘンなことが明らかになります。
a+b+c=40…(1) より
a=40-b-c
0=<a=<20 より
0=<(40-b-c)=<20 すなわち
(b+c)=<40=<（20+b+c） すなわち
20=<(b+c)=<40 すなわち
140=<(7b+7c)=<280 すなわち
（440-6b)=<(300+b+7c)=<（580-6b）
P=300+(b+7c) より
（440-6b)=<P=<（580-6b）
Pの最小値は（440-6b)だからb=30のとき260となりそうだが、P=260とすると
Pmin=260=300+(b+7c)=300+(30+7c) より c=-10
あれ、ｃが負になってしまった。

補足

お返事ありがとうございます。僕は正直この考えが一番分かりやすいと思ったのですが、

ｂに３０を入れてｃが－１０になっています。このことからｃは極力少ないほうがよいということが分かり、ｃは０を入れることがベストということを考え、ｃは０以上でないといけないという条件から

（440-6b)=<(300+b+7c)=<（580-6b）
ｃに０をいれて
　20=<(b)=<40　これより

Ｐの最小値を取るときのｂが２０と求められる。

という考えはダメでしょうか？

回答No.4

postro

a+b+c=40…(1) より
a=40-b-c
0=<a=<20 より
0=<(40-b-c)=<20 すなわち
(b+c)=<40=<（20+b+c） すなわち
20=<(b+c)=<40 すなわち
（20+6c)=<(b+7c)=<（40+6c） すなわち
（320+6c)=<(300+b+7c)=<（340+6c）
P=300+(b+7c) より
（320+6c)=<P=<（340+6c）
Pの最小値は（320+6c)だからc=0のとき３２０となる
Pmin=320=300+(b+7c)=300+b より b=20 よって　a=20

回答No.3

mister_moonlight

典型的なリニアプログラミング(線型計画法)の問題と考えれば簡単です。

a+b+c=40…(1)、0≦a≦20‥‥(2)、0≦b≦20‥‥(3)、0≦c≦20‥‥(4).
(1)より、a＝40-c-bであるから、(2)に代入すると、20≦b＋c≦40‥‥(5).
P=460-(4a+3b-3c)＝300+(b+7c)‥‥(6).

(3)、(4)、(5)をcb平面上に図示して、直線(6)：b＝-7c＋(P-300)‥‥(6)を動かしてみる。
(6)は傾きが　-7であるからb切片の最大と最小を求めると良い。

以下は自分でやってください。

回答No.2

noname#26313

ａ、ｂ、ｃをそれぞれデカルト座標のｘ軸、ｙ軸、ｚ軸上に取ると、
0=<a=<20, 0=<b=<30, 0=<c=<50
は、直方体内部と表面を対象に考えることになります。
そして、ａ＋ｂ＋ｃ＝４０
は、ｘ軸、ｙ軸、ｚ軸を、４０の所で切る平面を表わしています。
従って、この平面で、先ほどの直方体に含まれる部分のみを
考えればよいことになります。

丁度羊羹を斜めに切った時の切り口を思い浮かべると良いでしょう。
切り口は五角形で、頂点の座標は
(0,0,40)、(20,0,20)、(20,20,0)、(10,30,0)、(0,30,10)
です。
ｂ+７ｃを最小にするには、ｂ、ｃ共に取り得る最小の値を切り口の点から
選べばよいのです。
ｂが大きくなるほど、言い換えれば、ｙ軸の値が大きくなるほどｃの値は小さく
なります。
ｃの倍数が１以上ですから、ｃを最小とする切り口の点から、ｂを最小とする点を
求めると、
それは、(20,20,0)の点です。
つまり、a=20、b=20、c=0がＰを最小にする値で、これからＰを求めれば
よいのです。

回答No.1

gaball01

P=300+(b+7c)
からわかることは、ｃは７倍になるので、できるだけ小さくしたいことです。
ということで、まずｃは最小値の０になります。

次にｂを考えると、ｃが０、つまりａ＋ｂ＝４０を満たし、かつ
Ｐ＝３００＋ｂを最小にするｂは、ｂ＝２０です。
（ｂを小さくしたいが２０以下だと、ａの最大値が２０のため、
　ａ＋ｂ＝４０が不可能になるので）

そして、残ったａは、ａ＋ｂ＝４０から、もちろん２０となります。

補足

お返事いただきありがとうございます。
もう一度質問させて下さい。

cになにが入るかわからない、cは７倍になるということしか分からない状態でなぜｃを最小値の０にできるのでしょうか？
またこの時点でｃを０にすることがなぜ最小とわかりますか？