和の最小

質問

a+b+c+dが最小⇔a^2+b^2+c^2+d^2が最小
は言えるのでしょうか？
教えてください。

回答No.6

eatern27 · ベストアンサー

#3への補足について。
言えると思います。ただし、
a=b=c=d=0となり得るならば、という条件がつきます。

もし、a≧0,b≧0,c≧0,d≧0という条件だけであれば、成り立つと思います。しかし、例えば、
b=10-a,c=-(a+10)(a-10),d=2(a-1)^2,0≦a≦10
のような条件であった場合、
a≧0,b≧0,c≧0,d≧0ではありますが、a=b=c=d=0とはなりません。従って、
a+b+c+dが最小⇔a^2+b^2+c^2+d^2が最小
が成り立つとは限りません。

要は、a,b,c,dの関係式によるということです。

#4さんへの補足については先ほど私が書いた
b=10-a,c=-(a+10)(a-10),d=2(a-1)^2,0≦a≦10
などでしょうか？

参考までに
b=10-a,c=-(a+10)(a-10),d=2(a-1)^2,0≦a≦10
という条件では、
a+b+c+dはa=2で最小になりますが、
a^2+b^2+c^2+d^2はa=2で最小にはなりませんので、
a+b+c+dが最小⇔a^2+b^2+c^2+d^2が最小
は言えません。

回答No.7

nubou

ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄの最小値を求めたかったわけですが：

a^2+b^2+c^2+d^2=s^2（ｓは一定の実数）
のとき
a+b+c+d
の最大値と最小値を求めよ

という問題は成立します
解いて補足に書いてください

回答No.5

nubou

ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ＝ｋのとき
ａ＾２＋ｂ＾２＋ｃ＾２＋ｃ＾２が最小になるのはどういう場合であってその値はどのような値か答えよ

という問題は成立します

この問題を解いて補足に書いてください

補足

ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ＝ｋ の最小値を求めたかったわけですが、絶対値交じりの式で計算できないためａ＾２＋ｂ＾２＋ｃ＾２＋ｃ＾２の最小になる条件とａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ＝ｋが最小になる条件が同じになってくれないかなと思ったわけです。
もしわかっていらっしゃるなら教えてください。

回答No.4

arukamun

No.2のarukamunです。

＞　ａ≧０、ｂ≧０、ｃ≧０、ｄ≧０を満たせば成り立ちます。
でも成り立たない場合がありますので訂正します。

補足

どんな場合ですか？

回答No.3

eatern27

＞>(1, 1, 1, 7)と(3, 3, 3, 3)を比べてみてください。
＞とはどういう意味ですか？
(a,b,c,d)=(1,1,1,7)の時
a+b+c+d=10,a^2+b^2+c^2+d^2=52
(a,b,c,d)=(3,3,3,3)の時
a+b+c+d=12,a^2+b^2+c^2+d^2=36
となります。
a+b+c+dは(1，1，7，7)の方が小さく、a^2+b^2+c^2+d^2は(3,3,3,3)の方が小さいです。
したがって、
a+b+c+d<p+q+r+s⇔a^2+b^2+c^2+d^2<p^2+q^2+r^2+s^2
が成り立つわけではない、という事を言いたかったのだと思います。

＞a,b.c.dはすべて正の変数です。説明し忘れました。
もし、何らかの条件(a,b,c,dの関係式など)で
a≧α,b≧β,c≧γ,d≧δ
(α、β、γ、δは0以上の定数)
と表せれば、
a+b+c+dが最小⇔a^2+b^2+c^2+d^2が最小
は言えると思います。(共に(a,b,c,d)=(α,β,γ,δ)の時に最小となるから）
ただし、a＞のように１つでも"＝"が入らないのがあったら駄目です。

補足

>もし、何らかの条件(a,b,c,dの関係式など)で
a≧α,b≧β,c≧γ,d≧δ
(α、β、γ、δは0以上の定数)
と表せれば、
a+b+c+dが最小⇔a^2+b^2+c^2+d^2が最小
は言えると思います。(共に(a,b,c,d)=(α,β,γ,δ)の時に最小となるから）

ということは、a≧0,b≧0,c≧0,d≧0
であれば、a+b+c+dが最小⇔a^2+b^2+c^2+d^2が最小
は言えますか。

回答No.2

arukamun

例外をあげましょう。
－１０から１０まででの整数のうちの４個の和の最小は
（－１０）＋（－９）＋（－８）＋（－７）＝－３４
ですよね。
（－１０）＾２＋（－９）＾２＋（－８）＾２＋（－７）＾２＝１００＋８１＋６４＋４９＝２９４
より
（０）＾２＋（±１）＾２＋（±２）＾２＋（±３）＾２＝０＋１＋４＋９＝１４
の方が明らかに小さいですよね。

上記のような例外を除くのであれば、
ａ≧０、ｂ≧０、ｃ≧０、ｄ≧０を満たせば成り立ちます。

回答No.1

liar_adan

いえません。
端的に言うと、abcdにマイナスが混じっていると、
ぜんぜん成り立たなくなります。

ぜんぶ正の数ということで言っても、やはり成り立ちません。
(1, 1, 1, 7)と(3, 3, 3, 3)を比べてみてください。

もっとも、条件が本当に「任意の正の数でa+b+c+dが最小」
なのだったら、それは、a=b=c=d=0のとき成り立ちます。
するとa^2+b^2+c^2+d^2も、たしかに最小値の0を取ります。

ですが、おそらくそういう問題ではないと思います
「ある条件の中で出てくる変数a, b, c, dの組み合わせがあるとき、
a+b+c+dが最小⇔a^2+b^2+c^2+d^2が最小は言えるのか？」
という問題だと思います。
それならば、上記の通り、一般的には言えません。

補足

早速の返答ありがとうございます。
>(1, 1, 1, 7)と(3, 3, 3, 3)を比べてみてください。
とはどういう意味ですか？
a,b.c.dはすべて正の変数です。説明し忘れました。