微分法の応用で・・・

質問

質問です
ｆ(a)=ｆ´(a)=ｆ＾(2)(a)=・・・=ｆ＾(n-1)(a)=0・・・・(1)とおき
ｆ(ｘ)=(ｘ－a)^n×Q(ｘ) R(ｘ) (R(ｘ)はn-1次式以下の式)とおくと
(x-a)^n×Q(ｘ)=０であり
(1)より

R(a)=R´(a)=R^(2)(a)=・・・=R＾(n-1)(a)=0となるのでR(x)=0
よって(1)が成り立つときｆ(ｘ)は(ｘ-a)^nで割り切れる。
と問題集でありましたが、(1)が成り立つときなぜ
R(a)=R´(a)=R^(2)(a)=・・・=R＾(n-1)(a)=0と言えますか？？
R(a)って余りのの方程式ですよね？？

回答No.1

arrysthmia · ベストアンサー

f(x) = (x-a)^n Q(x) + R(x)　なのでしょうね。

積の微分公式（ライプニッツの定理）より、
(d/dx)^k (x-a)^n Q(x)
= Σ[j=0,…,k] (k Ｃ j) { (d/dx)^j (x-a)^n } { (d/dx)^(k-j) Q(x) }
です。
k < n であれば、
(d/dx)^j (x-a)^n すなわち (n Ｐ j) (x-a)^(n-j) は
どれも x = a を代入すると 0 になりますから、
(d/dx)^k f(x) = (d/dx)^k (x-a)^n Q(x) + (d/dx)^k R(x) により
(d/dx)^k f(a) = (d/dx)^k R(a) です。

従って、
(d/dx)^k f(a) = 0 という条件が与えられている場合には、
(d/dx)^k R(a) = 0 となります。

「(x-a)^n×Q(ｘ)=０であり」は、謎ですね。
(x-a)^n Q(x) = 0 かつ R(x) = 0 では、f(x) = 0 になってしまいます。