積分の応用

質問

負でない整数ｍ、ｎについて
Ｉ(m，n)=∫[0～1]x^m*(1-n)^n dx
がある。
I(m，n)=m!n!/(m+n+1)!
となるのですがこのとき
Ｓ＝Σ[r=0→n]a^r*(1-a)^r/I(r，n-r)
を求めよ。という問題です。

解けるかどうか確信がないのですが、答えは（n+1）です。
（問題を訂正した所為でわからなくなったところがあるかもしれません）

回答No.1

siegmund · ベストアンサー

質問内容に間違いはありませんか？

> Ｉ(m，n)=∫[0～1]x^m*(1-n)^n dx
じゃなくて
Ｉ(m，n)=∫[0～1]x^m*(1-x)^n dx
ですよね．
そうしないと
I(m，n)=m!n!/(m+n+1)!
になりません．
この I(m,n) はオイラーのベータ関数の引数を１つずつずらしたものです．

それから
> Ｓ＝Σ[r=0→n]a^r*(1-a)^r/I(r，n-r)
でなくて
Ｓ＝Σ[r=0→n]a^r*(1-a)^(n-r)/I(r，n-r)
の様な気がするんですが，違いますか．
これなら，{a+(1-a)}^n の二項展開
Σ[r=0→n] C(n,r) a^r (1-a)^(n-r)
で，
C(n,r) = n!/r!(n-r)! = (n+1)/I(r,n-r)
からほとんど自明でしょう．

補足

あーー。
すいません。その通りです。
┏━━━━━━━━━━━━━━━━━┓
┃Ｉ(m，n)=∫[0～1]x^m*(1-x)^n dx 　　　 　┃
┃Ｓ＝Σ[r=0→n]a^r*(1-a)^(n-r)/I(r，n-r) ┃
┗━━━━━━━━━━━━━━━━━┛
でした。
二項展開ですか。確かにそういう形していますね。気付けなかった・・・