大学１回生の解析学です

質問

タイトルの通り解析学を習ってるんですが、この前当てられた宿題が僕には難しすぎて困ってしまって、友達にも聞いたんですけどなかなかでなくてここできいてみることにしました

問題　ｙ＝sin(アークcos＜ルート１－ｘ２＞)を微分せよ

関数の表記の仕方が不明瞭ですいません

読みを書くとsinかっこアークcosルート１マイナスエックスの２乗です

先生はヒントとしてライプニッツの公式をつかいなさいと言ってました

ご協力お願いします

回答No.3

Meowth

ｙ＝sin(アークcos＜ルート１－ｘ２＞)
→y=|x|
までは、微分とは関係ない
（逆三角関数の変形）
逆三角関数-三角関数の変形は
変域、値域が微妙なので
珍重に
（逆三角関数の微分も、逆三角関数は本来多価関数
なので、主値がずれることがあるので注意して）

回答No.2

Meowth

ｙ＝sin(アークcos＜ルート１－ｘ２＞)
√(1-x^2)=z
p=arccos(z)
とおくと
y=sin(p)
-1≦x≦1
で
0≦z≦1
0≦p≦π/2
z=cos(p)=√(1-x^2)
1-x^2=cos(p)^2
x^2=1-cos(p)^2=sin(p)^2
x=±sin(p)
0≦p≦π/2、-1≦x≦1なので
sin(p) =|x|
y=|x|
x>0のとき
dy/dx=1
x<0のとき
dy/dx=-1

お礼

ありがとうございました！！

＃１の方には申し訳ないですが、ｙが残っていたため＃２の方の解答を参考にさせていただきました！

このような解答ってどうやっておもいつくんですかね？慣れですか？

回答No.1

narucross

こんばんは。
ライプニッツ使わないとだめですか？使わなかった・・・
基本的なやり方でやってみますね。
公式の確認ですが、arcsinxをxで微分すると1/√(1-x^2)です。
arccosxなら、-1/√(1-x^2)です。
与式を
arcsiny=arccos√(1-x^2)と変形します。
両辺xで微分すると、左辺は、(1/√(1-y^2))*dy/dxです。合成微分を忘れずに。右辺はcosの中身を大きなXと捉えてあげた上で、やっぱり合成微分を忘れずに。式変形を割愛すると、
(dy/dx)*1/√(1-y^2)=x/lxl*√(1-x^2)となります。あとは、dy/dx＝の形にすれば完了ですね。

お礼

丁寧な説明ありがとうございました！！ホントに助かります。

僕もこのヒントがよくわからなくて、ライプニッツって２つの関数の積のときにｎ回微分する時につかうものですよね？！

なのに問題は微分せよのみなんですよね。いっぺんに宿題の問題を当てるので僕が別の人のヒントを自分のヒントと勘違いしちゃったのかもしれません。