公式について

質問

こんばんは。
数学の図形の計量の単元での公式について質問があります。
今、宿題をやっていて間違ったところなのですが
tanθ＝√2　cosθ＝1/√3のときsinθを求めよ。
という問題で
a, sinθ2乗+cosθ2乗＝1
b, tanθ＝sinθ／cosθ
この2つの公式が使えると思ったのでaの方の公式を使ったら
sinθ=√2/3　
となりました。でも解答をみたらbの方の公式を使っていて
sinθ=√6/3
となっていました。
自分でbの方の公式を使うとちゃんと解答どおりになるんですが
なぜaの公式では間違った答えになるのでしょうか？
また、どのような場合にa,bどっちの公式を使うなどの決まりはあるのでしょうか？
すごく見辛くなってしまい申し訳ないのですが、どうか回答をお願いします。

回答No.3

tra_tata · ベストアンサー

a,bどちらも使えると思いますよ。

bを使った場合、
　sinθ=tanθ * cosθ=√2 * 1/√3=√2/√3=√6/3

最後に、分母の√3を3にするために分母分子に√3をかけますが、
その際に分母に√3をかけるのを忘れてませんか？

あるいは、cosθ=1/√3 の√を見落としていませんか？

お礼

ありがとうございます！
おもいっきり見落としてました。
すごいスッキリしました♪

回答No.7

info22

> sinθ=√(2/3)
> sinθ=(√6)/3
とは同じです。
上の方は分母の有理化をすれば下の式になります。
√(2/3)=(√2)/√3=(√2)(√3)/{(√3)(√3)}
=√(2*3)/(√3)^2
=(√6)/3
と同じになります。

●解答は分母を有理化するようにした方がいいですね。

お礼

ありがとうございました

回答No.6

R_Earl

どちらの方法を使っても、同じ答えがでます。

> また、どのような場合にa,bどっちの公式を使うなどの決まりはあるのでしょうか？

a、bどちらの方法を使っても問題が解ける時、
どちらか片方だけを使わなければならないということはありません。
ただ場合によって、問題が解きやすい場合と解きにくい場合があります。

aの方法は平方根の考え方を利用するので、±が出てくるのが面倒です。
例えば今回の問題では

sinθ2乗 + cosθ2乗 = 1
sinθ2乗 = 1 - cosθ2乗
sinθ = ±√(1 - cosθ2乗)

という手順を踏んでsinθを求めます。
式の形を見れば分かると思いますが、最後に
「sinθはプラスとマイナスどっち？」
ということを判断する必要があります。
今回の場合、tanθとcosθがプラスなので、sinθもプラスになります。
よってsinθ = +√(1 - cosθ2乗)を採用します。

対してbの方法はそんな必要がありません。
平方根の考え方を使わないので、±は出てきません。
ただしbの方法は連分数になることが多いので、連分数の処理が苦手な人には向かないでしょう。

お礼

連分数はまだ分かりませんが、いろいろあるんですね(>_<)
ありがとうございました。

回答No.5

noname#70519

下2行目を訂正。
sinθ=(√6)/3={√(2・3)}/√(3・3)=√(2)/√(3)=√(2/3)

お礼

ありがとうございました

回答No.4

noname#70519

(sinθ)^2+(cosθ)^2=1
tanθ=sinθ/cosθ
を使って sinθ を求めます。

tanθ=sinθ/cosθ
=sinθ/√{1-(sinθ)^2}=√2
両辺を自乗して
(sinθ)^2/{1-(sinθ)^2}=2

(sinθ)^2=2・{1-(sinθ)^2}

(sinθ)^2=2-2・(sinθ)^2
3・(sinθ)^2=2

sinθ=±√(2/3)

tanθ>0、cosθ>0 なので、θは第一象限の角である。
∴　sinθ=√(2/3)

間違いではないようです。
以下のように変形すると合っていることが分かりますね。

解答集では、(√6)/3 となっているのではありませんか？
sinθ=(√6)/3={√(2・3)}/√(3/3)=√(2)/√(3)=√(2/3)

これから書き方に注意が必要であることがわかるでしょう。

お礼

注意が必要ですね…。
気をつけます。ありがとうございました。

回答No.2

noname#77845

ルートの範囲が判りづらいのですが…。
a (sinθ)^2+(cosθ)^2=1
(sinθ)^2=1-(cosθ)^2
（中略）
sinθ=√(2/3)
sinθ=√2/√3
有理化して、
sinθ=√6/3
です。

どちらを使っても回答は同じ。
でも、cosθとtanθが示されているならbの方が速い・簡単。

お礼

ありがとうございました。
次からはこういうときbの方を使う事にします。

回答No.1

koko_u_

>この2つの公式が使えると思ったのでaの方の公式を使ったら
>sinθ=√2/3　
>となりました。

計算過程を補足にどうぞ。

お礼

√2/√3を√2/3としていました。
回答ありがとうございました。