三角比の基本問題

質問

馬鹿な質問で申し訳ありません。

例えば、
「θは４象限で、sinθ+cosθ=5の時、sinθcosθ求めやがれ。」
っていう問題が出たとき、両辺二乗しますが、
左辺からはsin二乗θとcos二乗θの他に「2sinθcosθ」が出ますよね。
ここから２で割って答え出すわけですが。

そこで、
「４象限でsinθはマイナスだから、「2sinθcosθ」はマイナスになる」
っていう考えはどこがおかしいんでしょうか。
問題集では普通にプラスで出てきてるんですが、なんでだかわからないんですよね。

シータが三象限の時も同様に疑問です。

尚、与式の「＝５」ってありえない数だと思いますけど、適当に書いただけですのでつっこまないでください。

馬鹿なのでわかりやすく簡潔にお願いいたします。

回答No.2

R_Earl · ベストアンサー

> 「４象限でsinθはマイナスだから、「2sinθcosθ」はマイナスになる」
> っていう考えはどこがおかしいんでしょうか。

質問の意味が良く分からないです。
確かに2sinθcosθはマイナスです。それであってます。

> 問題集では普通にプラスで出てきてるんですが、なんでだかわからないんですよね。

もしかして、あなたの考え方はこうでしょうか？
違っていたらごめんなさい。

sinθ + cosθ = 5
の両辺を二乗し、変形していくと
2sinθcosθ = 24
となる。
ここでθが第4象限なのでsinθがマイナス、cosθがプラスなのでsinθcosθはマイナス。
よって
-2sinθcosθ = 24
∴sinθcosθ = -12

sinθcosθがマイナスだから、sinθcosθに負の符号をつけるという方法ですが、コレは誤りです。
a = -2の時、a + 3の値をどう計算しますか？
aが負の値だから、aを-aにして
-a + 3
と式変形してからa = -2を代入し、
2 + 3 = 5
というふうに計算するでしょうか？
sinθcosθが負の値だからといって、勝手にsinθcosθを-sinθcosθに置き換えるのは駄目です。
例えsinθcosθの前にマイナスの符号が無かったとしても、
sinθcosθ = -2
としてしまえばsinθcosθは負の値です。
逆にこの場合、-sinθcosθは正の値となってしまいます。

> シータが三象限の時も同様に疑問です。

θが第3象限の時はsinθがマイナス、cosθもマイナスでsinθcosθはプラスになります。

お礼

＞＞＞＞sinθ + cosθ = 5
の両辺を二乗し、変形していくと
2sinθcosθ = 24
となる。
ここでθが第4象限なのでsinθがマイナス、cosθがプラスなのでsinθcosθはマイナス。
よって
-2sinθcosθ = 24
∴sinθcosθ = -12

その通りです。こう考えました。

なるほど。
答えのsincosがたとえマイナスであっても、それをわざわざ書く必要はないんですね。
文字と同じなんですか・・・。
理解できた気がします。

教えていただいたことを頭におきつつ、実践を積んで確認していきたいと思います。

回答No.7

kkkk2222

ＰＳ

Ｐ＝sinθ+cosθ
Ｐは
ー√２≦sinθ+cosθ≦√２です

しかしー９０度＜θ＜Ｏ度では

ー１＜sinθ+cosθ＜１です
　　　|sinθ+cosθ|＜１

　１＋２sinθcosθ＜１
　　　　　sinθcosθ＜０

　　　　　　負にしかなりません。

途方もない、５　騙されているのは、
質問者様だけの責任ではないとおもいます。

回答No.6

kkkk2222

本論

＜馬鹿な質問で　　書かないよう、しましょう。
＜求めやがれ　　　　ここは、兄ちゃん寝るではないです。
＜「＝５」ってありえない数　　わかってるなら、考慮して質問しましょう。
＜わかりやすく簡潔に　　　　二律背反です。

５人も回答してくれた人が、いるのが不思議です。

＞【θは４象限で、sinθ+cosθ=○の時、sinθcosθ】
　　【θは４象限で】なる条件のついた、この形の問題は存在しません。貴殿が、ふと思った疑問で【無理に作成しただけです。】

ーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
＊結論・・単なる錯誤です。

錯覚を矯正するために若干数値が＜通常使用しない値＞になります。

（１）　sinθ+cosθ=(√3-1)/2
（２）　1+2sinθcosθ=(4-2√3)/4
　　　　　2sinθcosθ=(-2√3)/4
　　　　　　sinθcosθ=-√3/4

もともとθ=-３０度を想定して、最初の式の右辺の数値。
sinθ(-３０度)=-１/2
cosθ(-３０度)=√3/2
sinθ(-３０度)*cosθ(-３０度)=-√3/4

不思議な事は皆無です。

＞問題集では普通にプラス

貴殿が別の問題を参照しただけです。
このような、回答者に誤解を与える記述は回避しましょう。

θが弟４象限なら、sinθcosθは当然　負です。
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
もっと根本の錯誤は
sinθやcosθは正だと思ってるんじゃないですか。
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー

以下は読まない方がよいでしょう。
貴殿の主旨とは離れますが、一般に両辺を自乗すると。
同値性が崩れます。
ｘ＝２
ｘ＝４　（ｘ＝２、－２）・・・－２を無縁解と呼びます。
本問題で思考します。
（１）から（２）に変形するとき、一応同値性が崩れます。
つまり
（３）　ー（sinθ+cosθ）=(√3-1)/2　の解が含まれます。
sinθcosθ=-√3/4　は（３）でもあります、
しかし、（３）を式変形しても、やはり　sinθcosθ=-√3/4　です。
しかし、しかし
θを求めよなら無縁解はでます
２　sinθcosθ＝=-√3/4
sin２θ＝-√3/２
２θ＝－６０度、－１２０度
θ＝－３０度、－６０度（無縁解）
さらに計算略でθ＝１２０度は正式解です。
ーーー

お礼

まとめてお礼とさせていただきます。

θは４象限という条件付の問題は確かにありました。
ただ、その過程でsincosが必要な問題で、そこを疑問に思い、ピックアップしたわけです。

問題を５に差し替えたのは、分数やルートを書くと見にくくなると思ったからです。

なににしろ、私の質問のマナー違反と、下調べ不足でした。
申し訳ありませんでした。

回答No.5

leap_day

こんにちは

三角関数の合成
http://www.suriken.com/knowledge/glossary/composition.html
これを使うと
sinθ+cosθ=√2sin(θ+45°)
となります

したがって　sinθ+cosθの値は　-√2≦sinθ+cosθ≦√2　ということになります
問題集の値はこの範囲に入っているでしょうか？
入っていないと　sinθ+cosθ=○　という恒等式に矛盾が生じることになります

θが第4象限の角という定義があるならば
-1≦sinθ+cosθ≦1　の範囲に入っているはずです

※上記は sinθ+cosθ の場合です
第4象限の角であればこの範囲(-1≦X≦1)になると思いますが・・・
√3sinθ+cosθ などのように変わると範囲は異なるかもしれませんｍ（－－）ｍ

＞「４象限でsinθはマイナスだから、「2sinθcosθ」はマイナスになる」

sinθ+cosθ=a
両辺二乗して式を移項して
2sinθcosθ = a^2 - 1　　←a^2はa二乗です

この『a^2 - 1』がマイナスになっているはずということでしょうか？
その考えであれば正しいと思います

問題集ではこれがプラスになっているということなのでしょうか？
できれば適当に入れた数値ではなく問題集の数値を提示してもらってたほうが参考になったと思うのですがちょっと残念（＞＜）

回答No.4

tapijonny

>「４象限でsinθはマイナスだから、「2sinθcosθ」はマイナスになる」っていう考えはどこがおかしいんでしょうか。

そう考えてもいいですが今の場合考える必要ありません。
第４象限の角度の場合右辺がマイナスになってるはずです。

例　sinθ+cosθ=0のときsinθcosθを求めよ。　
　　(sinθ+cosθ)＾2＝0
　　(sinθ)^2＋2sinθcosθ＋(cosθ)^2=0
　　1＋2sinθcosθ=0
　　2sinθcosθ=0-1　←ここでsinθcosθがマイナスになる（第2,4象限のとき）
　　sinθcosθ=-1/2

できたら問題集の問題を出していただけるとありがたいのですが
問題集も誤植（ミス）がありますのでその可能性が高いです。

この問題のように「sinθ+cosθ=?の時、sinθcosθを求めろ」だけの場合θが第何象限というのは計算ミスの確認程度しか使えません。おそらく次の問題も用意されていてそこで使うのだと思います。

ちなみに、sinθ、cosθの符号を考えるのは2乗（累乗）の形からルートを付けて2乗が無い形にするときです。

例　(sinθ)^2=1/4 sinθは第4象限（sinθはマイナス）なので
　　sinθ=-1/2

長文すみません、問題は解決したでしょうか？

回答No.3

oo1127s

一番下の回答をしたものです。
自分で勝手に第2、第3象限と思い込んでいました。
下から2つ目の他の方がされた回答で間違いないと思います。
失礼しました。

お礼

いえ、こちらこそ、今読み返せば揚げ足をとるような質問で申し訳ありませんでした。

ご親切にありがとうございました。
親切な方が本当に多いですね。ｇooは。

回答No.1

oo1127s

簡単に言えば、４象限でsinθはマイナスですがcosθもマイナスですよね。
なら－×－＝＋なので2sinθcosθはプラスにしかならないはずです。
三象限ではsinがプラスでcosがマイナスのため2sinθcosθはマイナスとなります。

お礼

４象限はサイン、コサイン、タンジェントの順にマイナス、プラス、マイナス　だと思いますが・・・。
３象限はマイナス、マイナス、プラスで逆にプラスで出ると思うんですが・・・。