アークサインの微分

質問

Sin^-1X^2（アークサインエックス2乗）を微分すると 1/√(X^4-1) であってますか？

回答No.1

rnakamra · ベストアンサー

違います。
1/√(x^4-1)は|x|>1でしか定義できない関数であり、さすがに違うことはすぐにわかりそうだ。

y=arcsin(x^2)
とおくと
x^2=sin(y)
この式をxで微分すると
2x=cos(y)・dy/dx
(arcsin(x))'=dy/dx=2x/cos(y)
となります。

お礼

ありがとうございました＾＾

補足

ご解答ありがとうございます＾＾
最後の式の
(arcsin(x))'=dy/dx=2x/cos(y)
のcos(y)は今回の問題だとどのようになりますか？

よろしくお願いいたします。

回答No.6

info22_

#3です。

A#3の補足質問について

>(2)の範囲では　cos(y)>=0なので,(3)より
>のあとのcos(y)がわかりません。
>なぜsin(y)が急にcos(y)になるのですか？

後続の微分を取るところ
>>(3)をxで微分
>>cos(y)y'=2x …(5)
>>y'=2x/cos(y) …(6)
>>y'=2x/√(1-x^4)…(7)
でcos(y)が出て来て(6)でcos(y)を代入消去する必要があるので、
前もってcos(x)を(3)のsin(y)から求めておくわけです。
導出は公式sin^2(y)+cos^2(y)=1　から
cos^2(y)=1-sin^2(y)
y=sin^-1(x^2)の値域から、|y|<π/2でcos(y)>=0なので
>>cos(y)=√{1-(sin(y))^2} ←これに(3)のsin(y)=x^2を代入して
>>=√(1-x^4) …(4)
と cos(y)をxの式で表せる。
これを(6)に代入すれば　y'の答えの式(7)が得られるわけです。

お礼

ありがとうございました＾＾

回答No.5

rnakamra

#1のものです。

>(arcsin(x))'=dy/dx=2x/cos(y)　　　←ここ間違えていました。 (arcsin(x^2))'= が正しい
>のcos(y)は今回の問題だとどのようになりますか？

cos(y)≧ですので
{cos(y)}^2+{sin(y)}^2=1より
cos(y)=√{1-{sin(y)}^2}
となります。
sin(y)=sin(arcsin(x^2))=x^2　を代入すれば
cos(y)=√(1-x^4)
となります。

お礼

ありがとうございました＾＾

回答No.4

IveQA

ANo.2
＞授業で習ったものがasin(x)の微分公式1/√(1-x^2)で、asin(x^2)は初めてなのです。
なので、asin(x)の微分公式1/√(1-x^2)を微分して求めました。
1）asin(x)の微分公式1/√(1-x^2)から求める方法
2）y=asin(x^2)とおいてx^2=sin(y)を微分して求める方法を教えていただけますか？

1)の微分公式を使うなら、さらに合成関数の微分公式を利用。
g(x)=x^2とおいて{asin(g(x))}'=g'(x)/√{1-g(x)^2}として求める。
2)の方法はANo.1,3で回答されているので彼らに譲る。

お礼

ありがとうございました＾＾

回答No.3

info22_

y=sin^-1(x^2) …(1)
sin^-1の定義から　-π/2<=y<=π/2　…(2)
sin(y)=x^2　…(3)
(2)の範囲では　cos(y)>=0なので,(3)より
cos(y)=√{1-(sin(y))^2}=√(1-x^4) …(4)
(3)をxで微分
cos(y)y'=2x
y'=2x/cos(y)=2x/√(1-x^4)

したがって、
> 1/√(x^4-1) であってますか？
は間違いです。

お礼

ありがとうございました＾＾

補足

ご解答ありがとうございます＾＾
(2)の範囲では　cos(y)>=0なので,(3)より
のあとのcos(y)がわかりません。
なぜsin(y)が急にcos(y)になるのですか？

回答No.2

IveQA

残念！
asin(x)の微分公式1/√(1-x^2)から求めた？
それともy=asin(x^2)とおいてx^2=sin(y)を微分して求めた？
途中計算を補足欄にでも書いてくれればチェックするよ。
（asinはsinの逆関数でsin^(-1)のこと。）

お礼

ありがとうございました＾＾

補足

ご解答ありがとうございます＾＾
授業で習ったものがasin(x)の微分公式1/√(1-x^2)で、asin(x^2)は初めてなのです。
なので、asin(x)の微分公式1/√(1-x^2)を微分して求めました。

1）asin(x)の微分公式1/√(1-x^2)から求める方法
2）y=asin(x^2)とおいてx^2=sin(y)を微分して求める方法を教えていただけますか？

よろしくお願いいたします。