数学、アークサインの導関数の問題です。

質問

宿題がどうしても解けず困っています。

つぎの関数の導関数を求められません。
x√a^2-x^2 + a^2Sin^-1x/a (a>0)

わかりにくくてすみません。
エックス　ルートa２乗マイナスx２乗　ルート閉じ　プラスa２乗アークサインx/a　です。

回答よろしくおねがいします。
やはり両辺の自然対数をとるのでしょうか。
途中式も詳しく書いてもらえると助かります。

回答No.4

alice_44

また、今回もだよ。
こういうのを、丸写しって言わないか？

お礼

丸写しをしたいがために質問しているわけではないので。

回答No.3

info22_

第一項の微分（積の微分を使う）
{x√(a^2-x^2)}'={x(a^2-x^2)^(1/2)}'
=x'(a^2-x^2)^(1/2)+x{(a^2-x^2)^(1/2)}'
=1・(a^2-x^2)^(1/2)+x・(1/2)(a^2-x^2)^(-1/2)・(a^2-x^2)'
=√(a^2-x^2) + (x/2)(-2x)/√(a^2-x^2)
=√(a^2-x^2) - (x^2)/√(a^2-x^2)
=(a^2-2x^2)/√(a^2-x^2)

第二項の微分
　公式Sin^-1(x)=1/√(1-x^2)を使う（覚えておく）。
　公式を覚えていない場合直ぐ導けるようにしておく。
　　y=Sin^-1(x)　(-1≦x≦1,-π/2≦y≦π/2)
　 sin y=x
　xで微分
　(cos y)y'=1
　　　cos y≧0なので　cos y=√{1-sin^2(x)}=√(1-x^2)
∴y'=1/cos(y)=1/√(1-x^2)
この公式は直ぐ導けるようにしておくと良いですね。

　第二項の微分は、公式を使って
　{(a^2)Sin^-1(x/a)}' (a>0)
=(a^2){Sin^-1(x/a)}'
Sin^-1の定義から -1≦x/a≦1であることに注意して、合成関数の微分公式を適用して
　　=(a^2)・1/√{1-(x/a)^2}・(x/a)'
=(a^2)(1/a)/√{1-(x/a)^2}
=(a^2)/√(a^2-x^2)
　です。
後は、第一項と第二項の微分を加えれば良いしょう。

お礼

回答ありがとうございます。
やはり第一項、第二項わけて丁寧に見ていけば計算しやすいですね。
丁寧な回答ありがとうございます。

回答No.2

alice_44

(d/dx){ x √(a^2-x^2) + (a^2) Sin^-1(x/a) }
= (d/dx){ x √(a^2-x^2) } + (a^2) (d/dx)Sin^-1(x/a)

右辺第一項は、積の微分法で普通に微分できますね？
√ がややこしければ、
√(a^2-x^2) = (a^2-x^2)＾^(1/2) と書いて行う。

第二項は、Sin^-1 が微分できるか？ということですが、
これは、知ってれば公式一発でオシマイ。
知らなければ、逆関数の微分法を使いましょう。
y = sin z であれば、dz/dy = 1/(dy/dz) = 1/cos z
です。

お礼

回答ありがとうございます。
ひとつひとつの項を丁寧に見ていけば計算できたのですね。

回答No.1

Tacosan

2点ほど聞いてみよう:
1. 「サインの導関数」は計算できますか?
2. 「両辺の自然対数をとる」と思った根拠は?

お礼

１．計算はできます。
２．ルートが多くついていたので、そちらのほうが計算しやすいかなと思ったからです。できませんでしたが…