北大の２次試験の問題です。

質問

kを実数とし、関数f(x)をf(x)=√3sin2x-cos2x+k(√3sinx+cosx)とする。

（１）t=√3sinx+cosxとおくとき、f(x)をtの二次式で表せ。
（２）k=-1/√3のとき、0<x<πの範囲で方程式f(x)=0の解を求めよ。
（３）0<x<πの範囲で方程式f(x)=0は任意の実数kに対して解をもつことを示せ。

全くわかりません。
どなたかわかりやすく教えてくださいっ

回答No.2

151A48 · ベストアンサー

（１）t=√3 sinx+cosx=2sin(x+ π/6)
0<x<πで　-1<t≦2
t^2=3(sinx)^2+2√3sinx cosx +(cosx)^2=3(1-(cosx)^2)+√3sin2x +(cosx)^2
=2-(2(cosx)^2-1)+√3sin2x=2-cos2x+√3sin2x
∴√3sin2x-cos2x=t^2 -2
f(x)=t^2+kt-2

（２）k=-1/√3 　のとき
　　t^2-(1/√3)t-2=0 を解いて t=√3 , -2√3/3　　　　、-2√3/3は不適
　　2sin(x+ π/6)=√3 より　x+ π/6=π/3 , 2π/3 ∴x=π/6 , π/2

（３）　g(t)=t^2+kt-2　とおく。
g(0)=-2<0
g(-1)=-(k+1), g(2)=2(k+1)　なので g(-1), g(2) のいずれかが正。
　　　-1<t≦2　に t^2+kt-2=0 は解をもつので、f(x)=0 は解をもつ。

お礼

解答がコンパクトで
わかりやすかったです

ありがとうございました！

回答No.1

ferien

kを実数とし、関数f(x)をf(x)=√3sin2x-cos2x+k(√3sinx+cosx)とする。

＞（１）t=√3sinx+cosxとおくとき、f(x)をtの二次式で表せ。
√3sin2x-cos2x
＝２√３sinｘcosｘ－（cos^2ｘ－sin^2ｘ）
＝（√３sinｘ＋cosｘ）^2－２（sin^2ｘ＋cos^2ｘ）
＝ｔ^2－２
よって、f(x)＝ｔ^2＋ｋｔ－２　　　　　　

＞（２）k=-1/√3のとき、0<x<πの範囲で方程式f(x)=0の解を求めよ。
t=√3sinx+cosxより、ｔ＝２sin（ｘ＋π／６），
0<x<π　……（１）より、π／６＜ｘ＋（π／６）＜７π／６　……（２）
－１／２＜sin（ｘ＋π／６）≦１より、－１＜ｔ≦２　……（３）
ｔ^2＋（-1/√3）ｔ－２＝０
√３ｔ^2－ｔ－２√３＝０
（√３ｔ＋２）（ｔ－√３）＝０
（３）より、ｔ＝√３
２sin（ｘ＋π／６）＝√３
sin（ｘ＋π／６）＝√３／２
（２）より、ｘ＋π／６＝π／３，２π／３
よって、ｘ＝π／６，π／２　これらは（１）を満たす。

＞（３）0<x<πの範囲で方程式f(x)=0は任意の実数kに対して解をもつことを示せ。
f(x)＝ｔ^2＋ｋｔ－２＝０より、
（ｔ^2－２）＋ｋｔ＝０
任意の実数kに対して成り立つには、
ｔ^2－２＝０とｔ＝０が同時に成り立てば良い。
ｔ^2－２＝０から、ｔ＝±√２
（３）より、ｔ＝√２
２sin（ｘ＋π／６）＝√２
sin（ｘ＋π／６）＝１／√２
（２）より、ｘ＋π／６＝π／４，３π／４
よって、ｘ＝π／１２，７π／１２　これらは（１）を満たす。
ｔ＝０から、
２sin（ｘ＋π／６）＝０
sin（ｘ＋π／６）＝０
（２）より、ｘ＋π／６＝π
よって、ｘ＝５π／６　これは（１）を満たす。
以上より、0<x<πの範囲で方程式f(x)=0は任意の実数kに対して
ｘ＝π／１２，５π／６　または　ｘ＝７π／１２，５π／６を解にもつ

でどうでしょうか？

お礼

なるほど！
とてもわかりやすかったです
ありがとうございました!(^^)!