フーリエ解析がよくわかりません

質問

現在フーリエ解析について勉強を始めたばかりな者なのですが…

次の表現はおかしいでしょうか？
もし、おかしければどこがおかしいか教えてください。

(1)
周期2πの実数関数f(x)の集合は、無限に存在する正規直交基底
{1/√(2π) , sinx/√π , cosx/√π , sin2x/√π , cos2x/√π,……}
によって張られる。

(2)
周期2πの複素数関数f(x)の集合は、無限に存在する正規直交基底
{e^(iλx)　| λ=0,±1,±2,…±∞ }
によって張られる。

よろしくお願いします。

回答No.2

wata717

やさしいことを，難しくして勉強させられているような気がします．もっと実際的に学ぶことをお勧めし，下記の書物を読んで下さい．
金丸隆志著：フーリエ変換入門(2007)ソフトバンク
ISBN978-4-7973-3827-0
フーリエ解析で最も注意する点は基底関数をsinxとするか，sin2πx
とするかの2πを含めるかどうかというです．2πを入れた後者が単純明快です．文章をみると，数学者の数学者のための数学という感じです．そんな書き方の本をやめたものが上記です．

回答No.1

arrysthmia

全ての周期関数がフーリエ展開できる訳ではないので、
「２乗可積分な、周期２πの」とすべきでしょう。

言葉遣いの問題ですが、
「無限に存在する正規直交基底」も少し変です。
そう書くと、無限組の基底の話をしているみたいですが、
ひと組の基底
{1/√(2π) , sinx/√π , cosx/√π , sin2x/√π , cos2x/√π,……}
が無限個のベクトルからなる という意図ですよね。