三角関数系の直交性

質問

(f(x),g(x))=∫(a～b)f(x)g(x)￣dx
(f(x),g(x))=0の時f(x)とg(x)は区間[a,b]で直交する。

∫(a～b)ψm(x)ψn(x)￣dx={0(m≠nのとき),A(m=n,A≠0のとき)}
A=1の時,{ψn(x)}を正規直交関数列という。

g(x)￣は、g(x)の複素共役です。
(f(x),g(x))は、f(x)とg(x)の内積です。

なんで、内積の時に、g(x)は複素共役なんですか？
また、なんで、m=nの時、Aになるんでしょうか？

回答No.2

alice_44 · ベストアンサー

なんで A になるか？ ではなく、

m≠n のとき直交する { ψn(x) } のうち、
∫[a～b] ψ1(x)ψ1(x)￣ dx, ∫[a～b] ψ2(x)ψ2(x)￣ dx, …, ∫[a～b] ψn(x)ψn(x)￣ dx
がどれも A である（しかも A=1）ようなものを「正規直交関数列」と呼ぶ
と決めているだけでしょ。

用語を定義しているだけだから、何かを証明している訳ではない。

お礼

ありがとうございました。

回答No.1

Tacosan

複素関数なら, 「内積」を計算するときに「どちらか」を共役にすることはよくある. その理由は, この内積から誘導される「ノルム」を考えると分かる.
あと, 「なんで、m=nの時、Aになるんでしょうか？ 」というのは, 実は文章の読みがおかしい. ここは「m=n のとき A になる」と読むのではなく「m=n のときの値はすべての m (n) で同じであり, その値を A とする」と読むべきだろう. 本当は違ってもいいんだけど, 同じとした方がそのあとで簡単になるのかもしれない.
「三角関数系の直交性」というタイトルとどう関係するのか (想像はできるけど) わからんし, ここだけ切り出して読むんじゃなくて前後をきちんと把握したうえで解釈してほしいなぁ.

お礼

ありがとうございました。

補足

「値をAとする」というのは分ってました。自分の文章の書き方が間違ってましたね。

このことは、フーリエ級数の講義ででてきました。
ノルムがどうとかを先生が言われてました。
線形代数か何かで習った気がします。
これ以上の詳しい説明はありませんでした。
講義で5分くらいしか扱わなかったので、あまり重要でない(テストにでるかでないかという意味で)と思っています。
しかし、知っているにこしたことはないと思ったので質問してみました。

少し、回答内容で分らないことがあるので再度質問します。
＞m=n のときの値はすべての m (n) で同じであり
というところが分りません。
つまり、
∫(a～b)ψ1(x)ψ1(x)￣dx,∫(a～b)ψ2(x)ψ2(x)￣dx,‥……,∫(a～b)ψn(x)ψn(x)￣dx
ということなんでしょうか。

やはり、線形代数についてもう一度見直す必要があるでしょうか？